Solutions
I.6.48. On pose
P n (x) = (x − a)
n (x − b)
n
et on observe que P
(k)
n (a) = P
(k)
n (b) = 0 pour k = 0, 1, . . . , n − 1. Donc, par
hypothèse,
P
(k)
n (a)f
(2n−k−1) (a) = P
(k)
n (b)f
(2n−k−1) (b) = 0
pour k = 0, 1, . . . , 2n − 1. On obtient donc, en intégrant 2n fois par parties,
b
a
P n (x)f
(2n) (x) dx =
b
a
P
(2n)
n
(x)f (x) dx = (2n)!
b
a
f (x) dx.
Il s’ensuit que
b
a
f (x) dx
M
(2n)!
b
a
|P n (x)| dx.
Puisque sur ]a , b[, P n (x) est soit strictement positif, soit strictement négatif,
il suffit de calculer
b
a P n (x) dx. Le changement de variable x = a + t(b − a)
donne
b
a
P n (x) dx =
b
a
(x − a)
n (x − b)
n dx
= (−1)
n (b − a)
2n+1
1
0
t
n (1 − t)
n dt
= (−1)
n (b − a)
2n+1 (n!) 2
(2n + 1)!
,
la dernière égalité provenant de I.5.1(c).
I.7. Mesure de Jordan
I.7.1. Si A est Jordan-mesurable, alors |A| = |A|
∗ = |A| ∗ < +∞. Par définition des bornes supérieures et inférieures, il s’ensuit que, étant donné ε > 0,
il existe un ensemble élémentaire E 1 inclus dans A tel que
|A| − |E 1 | <
ε
2
et un ensemble élémentaire E 2 contenant A tel que
|E 2 | − |A| <
ε
2
.
189