Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
De plus, puisque les fonctions h, h , . . . et h (n−1) sont croissantes, on voit que
a
0
f (t)f
(n) (t)
dt
a
0
h(t)h
(n) (t) dt
a
0
th
(t)h
(n) (t) dt
· · ·
a
0
t
n−1 h
n−1 (t)h
(n) (t) dt
a
n−1
h (n−1) (a)
2
2
=
a n−1
2
a
0
h
(n) (t) dt
2
a n
2
a
0
h
(n) (t)
2
dt,
la dernière inégalité se déduisant de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.6.1).
I.6.47. On pose
z(x) =
x
0
f
(t)
q dt.
On a alors z (x) = |f (x)|
q et
|f (x)|
p
x
0
f
(t)
dt
p
.
On suppose que q > 1 et q est tel que
1
q +
1
q = 1. D’après l’inégalité de Hölder
(voir I.6.26),
|f (x)|
p
x
0
f
(t)
q dt
p/q
a
p/q , 0 x a.
En conséquence,
a
0
|f (x)|
p
f
(x)
q dx a
p/q
a
0
f
(x)
q
x
0
f
(t)
q dt
p/q
dx
= a
p/q
a
0
z
(x) (z(x))
p/q dx
= a
p/q q
p + q
z(a)
p
q
+1
=
q
p + q
a
p/q
a
0
f
(x)
q dx
p
q
+1
q
p + q
a
p
a
0
f
(x)
p+q dx,
la dernière inégalité se déduisant de celle de Jensen (voir I.6.29). Le cas q = 1
se traite de façon semblable.
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