Solutions
On observe finalement que si m = −M , on obtient en corollaire
b
a
f (x) dx −
f (a) + f (b)
2
(b − a)
M (b − a)
2
4
−
(f (b) − f (a))
2
4M
.
I.6.45. Pour 0 x a, on pose
h(x) =
x
0
f
(t)
dt.
On a alors
|f (x)| =
x
0
f
(t) dt
x
0
f
(t)
dt = h(x)
et h (x) = |f (x)|. En conséquence,
a
0
f (x)f
(x)
dx
a
0
h(x)h
(x) dx =
1
2
h
2 (a)
=
1
2
a
0
f
(t)
dt
2
a
2
a
0
f
(x)
2 dx,
la dernière inégalité découlant de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.6.1).
On remarque que la constante
a
2 est la meilleure possible. En effet, on
obtient l’égalité en prenant f (x) = cx.
I.6.46. Pour 0 x a, on pose
h(x) =
x
0
t n−1
0
. . .
t 1
0
f
(n) (t)
dt
. . .
dt n−2
dt n−1 .
On a alors h (n) (x) =
f (n) (x)
et
|f (x)| =
x
0
t n−1
0
. . .
t 1
0
f
(n) (t) dt
. . .
dt n−2
dt n−1
x
0
t n−1
0
. . .
t 1
0
f
(n) (t)
dt
. . .
dt n−2
dt n−1
= h(x).
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