Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
et
−
(b − a) 2 − (b − a − λ) 2
2
b
a
f (x) − m
M − m
(a − x) dx −
λ 2
2
,
où λ =
f (b)−f (a)−m(b−a)
M −m
. En multipliant la dernière inégalité par −1 et en
l’additionnant à la précédente, on obtient
λ
2
b
a
f (x) − m
M − m
(b − a) dx (b − a)
2
− (b − a − λ)
2 .
Un calcul simple montre que cette inégalité est équivalente à celle demandée.
On remarquera que ce résultat est une amélioration de l’inégalité triviale
suivante : m
f (b)−f (a)
b−a
M .
I.6.44. [H. Gauchman, J. Inequal. Pure and Appl. Math. 3(2002) no. 2, article
26, pp. 9 (electronic)]. Comme dans la solution du problème précédent, on applique l’inégalité de Steffensen donnée en I.6.37 en prenant g(x) =
f (x)−m
M −m .
On remarque d’abord qu’une intégration par parties donne
b
a
f (x) − m
M − m
(b − x) dx =
b
a f (x) dx − f (a)(b − a) −
m(b−a) 2
2
M − m
et
b
a
f (x) − m
M − m
(a − x) dx =
b
a f (x) dx − f (b)(b − a) −
m(b−a) 2
2
M − m
.
D’après l’inégalité de Steffensen,
λ 2
2
b
a f (x) dx − f (a)(b − a) −
m(b−a) 2
2
M − m
(b − a) 2
2
−
(b − a − λ) 2
2
et
(b − a − λ) 2
2
−
(b − a) 2
2
b
a f (x) dx − f (b)(b − a) +
m(b−a) 2
2
M − m
−
λ 2
2
.
On voit maintenant en additionnant ces deux inégalités que
2
M − m
b
a
f (x) dx −
f (a) + f (b)
2
(b − a)
−λ
2 + λ(b − a)
=
f (b) − f (a) − m(b − a)
M (b − a) − f (b) + f (a)
(M − m) 2
.
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