Solutions
où
μ =
b
a
g(x) dx
p−1
.
On va utiliser l’idée d’Apéry, présentée dans la solution du problème précédent.
Puisque 0 μg(x) 1, on note que
a+λ
a
f
p (x) dx −
b
a
μg(x)f
p (x) dx
=
a+λ
a
f
p (x) − f
p (a + λ)
(1 − μg(x)) dx
+
b
a+λ
(f
p (a + λ) − f
p (x)) μg(x) dx 0.
Si 0 < p 1, on a alors, d’après l’inégalité généralisée de Jensen (I.6.30),
b
a
f (x)g(x) dx
p
μ
b
a
f
p (x)g(x) dx,
où μ est défini comme précédemment. De plus,
b
a
μg(x)f
p (x) dx −
b
b−λ
f
p (x) dx
=
b−λ
a
(f
p (x) − f
p (b − λ)) μg(x) dx
+
b
b−λ
f
p (b − λ) − f
p (x)
(1 − μg(x)) dx 0.
I.6.42. On pose g(x) = g 1 (x) − g 2 (x) et G(x) =
x
a g(t) dt. Puisque G(x) 0
pour x ∈ [a , b] et G(a) = G(b) = 0, une intégration par parties donne
b
a
f (t)g(t) dt =
b
a
f (t) dG(t) =
f (t)G(t)
b
a
−
b
a
G(t) df (t)
= −
b
a
G(t) df (t),
ce qui implique le résultat cherché.
I.6.43. [H. Gauchman, J. Inequal. Pure and Appl. Math. 3(2002) no. 2, article 26,
pp. 9 (electronic)]. On applique l’inégalité de Steffensen donnée en I.6.37 en
prenant g(x) =
f (x)−m
M −m pour obtenir
λ 2
2
b
a
f (x) − m
M − m
(b − x) dx
(b − a) 2 − (b − a − λ) 2
2
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