Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
et on procède comme suit :
λ
0
(f (x))
p dx − μ
1
0
(f (x))
p g(x) dx
=
λ
0
(f (x))
p (1 − μg(x)) dx − μ
1
λ
(f (x))
p g(x) dx
(f (λ))
p
λ
0
(1 − μg(x)) dx − μ
1
λ
(f (x))
p g(x) dx
= (f (λ))
p
λ − μ
λ
0
g(x) dx
− μ
1
λ
(f (x))
p g(x) dx
= (f (λ))
p
1
0
g(x) dx
p
− μ
λ
0
g(x) dx
− μ
1
λ
(f (x))
p g(x) dx
= μ
(f (λ))
p
1
λ
g(x) dx −
1
λ
(f (x))
p g(x) dx
= μ
1
λ
g(x) ((f (λ))
p
− (f (x))
p ) dx 0.
Le résultat énoncé est encore vérifié si
1
0 g(x) dx = 0. Dans ce cas, les deux
membres de l’inégalité sont nuls, ce qui est une conséquence de II.3.6.
I.6.39. Utilisez le changement de variable x = (b − a)t + a, 0 t 1.
I.6.40. On a
+∞
0
f (x)g(x) dx − A
λ
0
f (x) dx
= −
λ
0
(A − g(x)) (f (x) − f (λ)) dx −
+∞
λ
g(x) (f (λ) − f (x)) dx 0.
I.6.41. On remarque qu’intégrer l’inégalité
0 g(x)
b
a
g(t) dt
p−1
1
sur [a , b] donne λ ∈ [0 , b − a]. On suppose d’abord que p 1. On a alors,
d’après l’inégalité généralisée de Jensen (voir la solution de I.6.38),
b
a
f (x)g(x) dx
p
μ
b
a
f
p (x)g(x) dx
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