Solutions
Puisque
1
0 x a−1 dx =
1
a , on voit que les hypothèses de I.5.53 sont vérifiées et
I 1 =
+∞
n=0
(−1)
n
1
0
x
a+n−1 dx =
+∞
n=0
(−1)
n 1
a + n
.
De plus, le changement de variable x =
1
y donne
I 2 =
1
0
y −a
1 + y
dy =
1
0
y (1−a)−1
1 + y
dy =
+∞
n=0
(−1)
n
1
1 − a + n
,
la dernière égalité découlant de celle obtenue plus haut. On a donc
+∞
0
x a−1
1 + x
dx =
1
a
+
+∞
k=1
(−1)
k
1
a + k
+
1
a − k
,
ce qui est la première égalité à prouver. Pour démontrer l’autre, on part de
l’identité (voir, par exemple, III.8.37 (vol. I))
sin x = x
+∞
n=1
1 −
x 2
n 2 π 2
.
On a donc, si x = kπ (k ∈ Z),
ln |sin x| = ln |x| +
+∞
n=1
ln
1 −
x 2
n 2 π 2
.
On remarque que la série dérivée
+∞
n=1
2x
x 2 − n 2 π 2
converge uniformément sur tout intervalle compact disjoint de l’ensemble
{kπ : k ∈ Z}. On obtient donc
cotan x =
cos x
sin x
=
1
x
+
+∞
n=1
2x
x 2 − n 2 π 2
=
1
x
+
+∞
n=1
1
x − nπ
+
1
x + nπ
.
Il s’ensuit que
tan x = − cotan
x −
π
2
= −
+∞
n=1
1
x − (2n − 1)
π
2
+
1
x + (2n − 1)
π
2
.
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