Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
On définit alors
f n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1
si x = 0,
sin x
x
2
x/n
sin(x/n)
2
si 0 < x
nπ
2 ,
0
si x >
nπ
2 .
On a
lim
n→+∞
f n (x) =
1
si x = 0,
sin x
x
2 si x > 0
et la convergence est uniforme sur chaque intervalle [0 , a]. On se rappelle (voir,
par exemple, II.5.28(a) (vol. II)) que
sin x
x
>
2
π
pour 0 < x <
π
2 . Donc,
f n (x) <
sin x
x
2 π 2
4
(x > 0)
et, puisque
+∞
0
sin x
x
2 dx < +∞, la convergence uniforme de
+∞
0
f n (x) dx
se déduit de I.5.35. Donc, d’après I.5.40,
π
2
= lim
n→+∞
+∞
0
f n (x) dx =
+∞
0
lim
n→+∞
f n (x) dx
=
+∞
0
sin x
x
2
dx.
I.5.57. On a
+∞
0
x a−1
1 + x
dx =
1
0
x a−1
1 + x
dx +
+∞
1
x a−1
1 + x
dx = I 1 + I 2 .
Pour 0 < x < 1,
x a−1
1 + x
=
+∞
n=0
(−1)
n x
a+n−1
et la série converge uniformément sur [η , 1 − η ] où 0 < η < 1 − η < 1. De
plus,
0 S n (x) =
n−1
k=0
(−1)
k x
a+k−1 =
x a−1 (1 − (−x) n )
1 + x
x
a−1 .
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