Solutions
(b) Comme en (a),
+∞
0
cos(bx) − cos(ax)
x 2
dx =
+∞
0
b
a
−
sin(yx)
x
dy
dx
=
b
a
+∞
0
−
sin(yx)
x
dx
dy
= −
π
2
(b − a) ,
la dernière égalité se déduisant de I.5.39(a).
I.5.49. On a
+∞
0
f (bx) − f (ax)
x
dx =
+∞
0
b
a
f
(yx) dy
dx.
Il est clair que
+∞
0
f
(yx) dx =
l − f (0)
y
.
Étant donné que f est monotone, lim
x→+∞
f (x) = 0 et f est soit positive et
décroissante, soit négative et croissante. On suppose, par exemple, que f est
positive et décroissante pour démontrer que l’intégrale impropre
+∞
0
f (yx) dx
converge uniformément sur [a , b]. On a
f
(yx) f
(ax) (x 0, y ∈ [a , b])
et la convergence uniforme se déduit de I.5.35. D’après le résultat de I.5.47,
+∞
0
f (bx) − f (ax)
x
dx =
b
a
+∞
0
f
(yx) dx
dy = (l − f (0)) ln
b
a
.
I.5.50. On suppose, par exemple, que la première intégrale de (d) converge
et on pose
F (x, d) =
d
c
f (x, y) dy, x a.
D’après I.5.47, on a alors
d
c
+∞
a
f (x, y) dx
dy =
+∞
a
F (x, d) dx.
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