Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Puisque
|F (x, d)| ϕ(x) =
+∞
c
|f (x, y)| dy
et puisque l’intégrale
+∞
a
ϕ(x) dx converge, l’intégrale impropre
+∞
a
F (x, d) dx converge uniformément sur [c , +∞[ d’après le résultat
de I.5.35. On montre alors que F (x, d) converge vers
+∞
c
f (x, y) dy uniformément sur chaque intervalle [a , b] lorsque d tend vers +∞. En effet,
d’après (b), étant donné ε > 0, il existe d 0 tel que
sup
x∈[a,b]
F (x, d) −
+∞
c
f (x, y) dy
= sup
x∈[a,b]
+∞
d
f (x, y) dy
< ε
pour d > d 0 . On obtient, en utilisant le résultat de I.5.40,
lim
d→+∞
+∞
a
F (x, d) dx =
+∞
a
lim
d→+∞
F (x, d)
dx
=
+∞
a
+∞
c
f (x, y) dy
dx.
I.5.51. On obtient, avec le changement de variable x =
√
u,
+∞
0
cos x
2 dx =
1
2
+∞
0
cos u
√ u
du
et
+∞
0
sin x
2 dx =
1
2
+∞
0
sin u
√ u
du.
On calcule la seconde intégrale, la première se calculant pareillement. D’après
le résultat de I.5.34, on a
1
√ u
=
2
√ π
+∞
0
e
−uy 2 dy.
Pour k > 0, on considère
+∞
0
sin u
√ u
e
−ku du.
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