Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
(b) On pose
I(y) =
+∞
0
e
−x−y/x dx
√ x
.
Une dérivation sous l’intégrale (voir I.5.44) donne
I
(y) = −
+∞
0
e
−x−y/x dx
x
√
x
.
On obtient alors, avec le changement de variable t =
y
x ,
I
(y) = −
1
√
y
I(y).
Donc,
I(y) = Ce
−2
√ y
et l’égalité cherchée se déduit de
I(0) =
+∞
0
e
−x dx
√ x
= 2
+∞
0
e
−x 2 dx =
√
π.
I.5.47. D’après I.5.43, I(y) =
+∞
a
f (x, y) dx est continue sur [c , d] donc
Riemann-intégrable sur cet intervalle. On a
d
c
I(y) dy =
d
c
b
a
f (x, y) dx
dy +
d
c
+∞
b
f (x, y) dx
dy.
Par uniforme convergence de I(y) =
+∞
a
f (x, y) dx sur [c , d], on a
d
c
+∞
b
f (x, y) dx
dy
−−−−→
b→+∞
0.
Donc, d’après I.4.48,
d
c
I(y) dy =
b
a
d
c
f (x, y) dy
dx + o(1) lorsque b tend vers +∞.
On obtient l’égalité cherchée en faisant tendre b vers +∞.
I.5.48.
(a) On a
+∞
0
e −bx − e −ax
x
dx =
+∞
0
a
b
e
−yx dy
dx.
Puisque
+∞
0
e −yx dx converge uniformément sur l’intervalle fermé [a , b],
+∞
0
e −bx − e −ax
x
dx =
a
b
+∞
0
e
−yx dx
dy =
a
b
1
y
dy = ln
a
b
.
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