Solutions
(c) On pose
I(a) =
+∞
0
sin(ax)
x
e
−x dx.
En dérivant sous l’intégrale, on obtient
I
(a) =
+∞
0
cos(ax)e
−x dx.
Une intégration par parties donne alors
I
(a) = 1 − a
2 I
(a).
Donc I (a) =
1
1+a 2 dont on déduit que I(a) = Arctan a + C. Puisque
I(0) = 0, on a I(a) = Arctan a.
(d) On pose
I(a) =
+∞
0
1 − cos(ax)
x
e
−x dx.
En dérivant sous l’intégrale et en intégrant par parties, on obtient
I
(a) =
+∞
0
sin(ax)e
−x dx = a
+∞
0
cos(ax)e
−x dx =
a
1 + a 2 ,
la dernière égalité se déduisant de (c). Puisque I(0) = 0, il s’ensuit que
I(a) =
1
2 ln
1 + a 2
.
I.5.46.
(a) On pose
I(y) =
+∞
−∞
e
−x 2 /2 cos(yx) dx = 2
+∞
0
e
−x 2 /2 cos(yx) dx.
D’après le résultat de I.5.44,
I
(y) = −2
+∞
0
e
−x 2 /2 x sin(yx) dx.
Une intégration par parties donne
I
(y) = −2y
+∞
0
e
−x 2 /2 cos(yx) dx = −yI(y).
Donc,
I(y) = Ce
−y 2 /2
et, puisque I(0) =
√
2π (voir I.5.34), le résultat cherché suit.
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