Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
où a 0 = a et {a n } est une suite croissante tendant vers +∞ (voir I.5.11).
D’après I.4.43,
d
dy
an
a n−1
f (x, y) dx =
an
a n−1
∂f
∂y
(x, y) dx.
De plus, la convergence uniforme de l’intégrale
+∞
a
∂f
∂y (x, y) dx implique la
convergence uniforme sur [c , d] de la série
+∞
n=1
an
a n−1
∂f
∂y
(x, y) dx.
On voit en utilisant, par exemple, le résultat de III.2.28 (vol. II) que
d
dy
I(y) =
+∞
n=1
an
a n−1
∂f
∂y
(x, y) dx =
+∞
a
∂f
∂y
(x, y) dx.
I.5.45.
(a) On déduit de I.5.34 que
+∞
0
e
−ax 2 dx =
1
2
π
a
, a > 0.
(1)
On remarque aussi que chacune des intégrales impropres
+∞
0
e
−ax 2 x
2n dx, n ∈ N
∗ ,
converge uniformément sur [c , d], 0 < c < d. Donc, en dérivant (1) sous
l’intégrale, on obtient
+∞
0
e
−ax 2 x
2n dx =
1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
2 n+1 a n
π
a
.
(b) Puisque
+∞
0
dx
a + x 2 =
π
2
√
a
,
comme précédemment, on obtient
+∞
0
dx
(a + x 2 )
n+1 =
1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
2 × 4 × · · · × (2n)
×
1
a n ×
π
2
√ a
.
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