Solutions
(c) Puisque
cos a(x 2 + 1)
x 2 + 1
1
x 2 + 1
, a ∈ R,
la convergence uniforme de l’intégrale se déduit de I.5.35.
(d) On sait (comparez avec I.5.24(c)) que
+∞
0
cos 2 x dx converge. La
convergence uniforme de l’intégrale se déduit donc de I.5.37.
I.5.40. Puisque f (x, y) converge vers ϕ(x) lorsque y tend vers y 0 uniformément sur un intervalle [a , b],
lim
y→y 0
b
a
f (x, y) dx =
b
a
ϕ(x) dx (voir I.3.9).
(1)
De plus, la convergence uniforme de
+∞
a
f (x, y) dx implique que, étant donné
ε > 0, il existe a 0 > a tel que pour b, b > a 0
b
a
f (x, y)dx −
b
a
f (x, y) dx
< ε
pour tout y ∈ A. En faisant tendre y vers y 0 , on obtient, d’après (1),
b
a
ϕ(x) dx −
b
a
ϕ(x) dx
< ε.
Ceci signifie que l’intégrale
+∞
a
ϕ(x) dx converge. On montre maintenant que
l’égalité cherchée est bien vérifiée. Soit ε > 0. Il existe a 0 > a tel que pour
b > a 0 ,
+∞
b
f (x, y) dx
< ε pour tout y ∈ A
et
+∞
b
ϕ(x) dx
< ε.
De plus, d’après (1), il existe δ = δ(b, ε) tel que
b
a
f (x, y) dx −
b
a
ϕ(x) dx
< ε
si |y − y 0 | < δ. En conséquence,
+∞
a
f (x, y) dx −
+∞
a
ϕ(x) dx
< 3ε
dès que |y − y 0 | < δ.
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