Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Il est clair que l’on suppose que y 0 est un point de l’adhérence de A. De
plus, le raisonnement précédent s’applique encore lorsque y tend vers +∞. En
particulier, le théorème s’applique à des suites de fonctions.
I.5.41. Ici A = N ∗ et pour tout n ∈ N ∗ ,
+∞
0
f n (x) dx =
e
−
n
2x 2
+∞
0
= 1.
De plus, puisque
sup
x0
f n (x) = f n
n
3
=
3
√
3
n
e
−3/2 ,
f n converge uniformément vers 0 sur R + , mais
1 = lim
n→+∞
+∞
0
f n (x) dx =
+∞
0
0 dx = 0.
On remarque que l’intégrale
+∞
0
f n (x) dx ne converge pas uniformément sur
N ∗ car
+∞
a
f n (x) dx = 1 − e
−
n
2a 2 > 1 − e
−1 pour n > 2a
2 .
I.5.42.
(a) D’après I.5.37,
+∞
0
sin x
x e −yx dx converge uniformément sur R ∗
+ . De
plus,
sup
x∈[0,b]
sin x
x
e
−yx
−
sin x
x
1 − e
−yb .
Le résultat se déduit donc de I.5.33 et I.5.40.
(b) On prouve d’abord que
sin x
2 Arctan(yx) −−−−→
y→+∞
π
2
sin x
2
uniformément sur R + . En effet, étant donné ε > 0,
sup
x∈R +
sin x
2
π
2
− Arctan(yx)
sup
x∈
0,
√
ε/π
sin x
2
π
2
− Arctan(yx)
+
sup
x∈
√
ε/π,+∞
sin x
2
π
2
− Arctan(yx)
ε
2
+
π
2
− Arctan
y
ε
π
< ε
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