Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.36. Il suffit de prouver que, étant donné ε > 0, il existe a 0 > a tel que
a 2
a 1
f (x, y)g(x, y) dx
< ε
pour a 2 > a 1 > a 0 et pour y ∈ A. D’après la seconde formule de la moyenne
(voir I.3.16),
a 2
a 1
f (x, y)g(x, y) dx = g(a 1 , y)
c
a 1
f (x, y) dx + g(a 2 , y)
a 2
c
f (x, y) dx
pour un certain c de [a 1 , a 2 ]. Puisque g est bornée, il existe C > 0 tel que
|g(x, y)| C pour x ∈ [a , +∞[ et y ∈ A. La convergence uniforme de
+∞
a
f (x, y) dx implique qu’il existe a 0 > a tel que
c
a 1
f (x, y) dx
<
ε
2C
et
a 2
c
f (x, y) dx
<
ε
2C
pour a 1 > a 0 et y ∈ A. Donc, pour y ∈ A,
a 2
a 1
f (x, y)g(x, y) dx
|g(a 1 , y)|
c
a 1
f (x, y) dx
+ |g(a 2 , y)|
a 2
c
f (x, y) dx
< C
ε
2C
+ C
ε
2C
= ε.
I.5.37. Appliquez les tests précédents avec f (x, y) = f (x) pour tout y ∈ A.
I.5.38. La démonstration est semblable à celle de I.5.36.
I.5.39.
(a) La convergence uniforme de
+∞
a
sin ax
x dx sur [a 0 , +∞[ se déduit du test
donné au problème précédent.
(b) L’intégrale
+∞
a
sin ax
x dx n’est pas uniformément convergente sur R + . En
effet pour tout b > 0,
+∞
b
sin ax
x
dx =
+∞
ba
sin x
x
dx,
d’où
lim
a→0 +
+∞
b
sin ax
x
dx =
+∞
0
sin x
x
dx =
π
2
,
cette dernière égalité provenant de I.5.33.
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