Solutions
pour un certain x 0 > 0. Puisque lim
x→+∞
e −x/2 x α−1 = 0, il existe x 0 tel que
e −x/2 x α−1 < 1 pour x > x 0 . Donc,
+∞
x 0
e
−x x
α−1 dx
+∞
x 0
e
−x/2 dx = 2e
−x 0
2 .
I.5.31. On pose f (x) = e −x x α−1 et on prend h = − ln t. On a alors
Γ(α) = lim
t→1 −
(− ln t)
+∞
n=1
t
n (−n ln t)
α−1 = lim
t→1 −
(− ln t)
α
+∞
n=1
n
α−1 t
n .
Puisque lim
t→1 −
− ln t
1−t = 1, on obtient
Γ(α) = lim
t→1 −
(1 − t)
α
+∞
n=1
n
α−1 t
n .
On note maintenant que, pour 0 < t < 1,
1
(1 − t) α = 1 +
+∞
n=1
α(α + 1) . . . (α + n − 1)
n!
t
n
et on remarque que la suite
c n =
n α−1 n!
α(α + 1) . . . (α + n − 1)
est monotone. En effet, si α 1, alors
c n+1
c n
=
n
α + n
1 +
1
n
α
1,
car
1 +
1
n
α 1 +
α
n (voir, par exemple, II.3.7(a) (vol. II)). Dans ce cas
donc, la suite {c n } soit converge, soit diverge vers +∞. Si 0 < α < 1, alors
1 +
1
n
α < 1 +
α
n (voir, par exemple, II.3.7(b) (vol. II)) et la suite {c n } est
décroissante. Il suffit pour conclure la démonstration d’appliquer le résultat
donné, par exemple, en III.3.21 (vol. II) (qui peut aussi être étendu au cas
où A = +∞).
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