Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.29. Supposons, par exemple, que f est décroissante sur R + . On voit alors,
puisque
+∞
0
f (x) dx existe, que lim
x→+∞
f (x) = 0. Donc, d’après I.5.11,
+∞
0
f (x) dx =
+∞
n=0
(n+1)h
nh
f (x) dx h
+∞
n=0
f (nh).
De même,
+∞
0
f (x) dx h
+∞
n=1
f (nh) = h
+∞
n=0
f (nh) − hf (0).
Donc,
0 h
+∞
n=0
f (nh) −
+∞
0
f (x) dx hf (0),
ce qui donne l’égalité désirée.
En prenant f (x) =
1
1+x 2 , on obtient
lim
h→0 +
+∞
n=1
h
1 + h 2 n 2 =
+∞
0
dx
1 + x 2 =
π
2
.
I.5.30. Il est clair que
Γ(1) =
+∞
0
e
−x dx = 1.
On suppose d’abord que 0 < α < 1 et on écrit
+∞
0
e
−x x
α−1 dx =
1
0
e
−x x
α−1 dx +
+∞
1
e
−x x
α−1 dx = I 1 + I 2 .
On a
I 1 =
1
0
e
−x x
α−1 dx
1
0
x
α−1 dx =
1
α
.
De plus,
I 2 =
+∞
1
e
−x x
α−1 dx
+∞
1
e
−x dx = e
−1 .
Si α > 1, alors lim
x→0 +
e −x x α−1 = 0 et il suffit de prouver la convergence de
+∞
x 0
e
−x x
α−1 dx
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