Solutions
(b) On a
2π
0
sin(sin x)e
sin x dx =
π
0
sin(sin x)e
sin x dx +
2π
π
sin(sin x)e
sin x dx
=
π
0
e
sin x
− e
− sin x
sin(sin x) dx > 0.
Donc l’intégrale diverge.
I.5.27. On observe d’abord que lim
x→0 +
sin x
x α +sin x existe et est finie pour tout α
strictement positif. On peut donc se limiter à étudier la convergence de
+∞
2
sin x
x α + sin x
dx.
On a
sin x
x α + sin x
=
sin x
x α −
sin
2 x
x α (x α + sin x)
.
On sait (voir I.5.24(a)) que l’intégrale
+∞
2
sin x
x α converge pour α > 0. Il suffit
donc d’étudier l’intégrale
+∞
2
sin
2 x
x α (x α + sin x)
dx.
(1)
Puisque
sin
2 x
x α (x α + 1)
sin
2 x
x α (x α + sin x)
sin
2 x
x α (x α − 1)
,
(2)
on voit que l’intégrale (1) converge pour α >
1
2 . En appliquant le résultat
de I.5.25, on trouve que l’intégrale
+∞
2
sin 2 x
x α (x α +sin x) dx diverge pour α
1
2 .
On déduit donc de (2) que l’intégrale (1) diverge aussi si α
1
2 . L’intégrale
étudiée converge pour α >
1
2 .
I.5.28. Puisque
+∞
a
f (x) dx =
+∞
a
(xf (x))
1
x
dx,
l’énoncé découle du test de convergence d’Abel pour les intégrales impropres
(voir I.5.22).
139