Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
(d) On applique le test de Dirichlet avec g(x) =
1
x α et f (x) = e sin x sin 2x car
b
1
e
sin x sin 2x dx
=
2e
sin x (sin x − 1)
b
1
8e
pour tout b > 1.
(e) On pose
g(x) =
ln
α x
x
et f (x) = sin x.
On a alors
g
(x) =
ln
α−1 x
x 2 (α − ln x) < 0
pour x suffisamment grand. Donc g décroît vers 0 et le test de convergence de Dirichlet s’applique.
I.5.25. Si
a+T
a
f (x) dx = 0, alors de même
a+kT
a
f (x) dx = 0 pour k ∈ N ∗ .
Pour b > a, on pose k =
b−a
T
. D’après le résultat de I.4.8, on a
b
a
f (x) dx
=
b
a+kT
f (x) dx
=
b−kT
a
f (x)dx
b−kT
a
|f (x)| dx
a+T
a
|f (x)| dx = C.
Le premier énoncé est alors une conséquence immédiate du test de Dirichlet
(voir I.5.23).
Pour démontrer le second énoncé, on pose
a+T
a
f (x) dx = I = 0 et on
considère l’intégrale
+∞
a
f (x) −
I
T
g(x) dx.
Ce que l’on a déjà prouvé implique que cette intégrale converge. En conséquence,
+∞
a
f (x)g(x) dx converge si et seulement si l’intégrale
+∞
a
g(x) dx
converge.
I.5.26.
(a) Puisque
2π
0
sin(sin x)e
cos x dx =
π
0
sin(sin x)e
cos x dx +
2π
π
sin(sin x)e
cos x dx = 0,
l’intégrale considérée converge.
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