Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.32. On a
Γ(α) = lim
n→+∞
n α−1 n!
α(α + 1) . . . (α + n − 1)
= lim
n→+∞
n α−1 n
α(α + 1)
α
2 + 1
. . .
α
n−1 + 1
= lim
n→+∞
n
α 1
α
exp
−
n−1
k=1
α
k
n−1
k=1
e α/k
1 +
α
k
= lim
n→+∞
e
α(ln n−(1+
1
2
+···+
1
n−1 )) 1
α
n−1
k=1
e α/k
1 +
α
k
=
e −γα
α
+∞
k=1
e
α/k
1 +
α
k
−1
.
I.5.33. D’après I.5.24(a), on sait que l’intégrale
+∞
0
sin x
x dx converge.
Donc,
+∞
0
sin x
x
dx = lim
n→+∞
nπ/2
0
sin x
x
dx = lim
n→+∞
π/2
0
sin nx
x
dx.
D’où
+∞
0
sin x
x
dx = lim
n→+∞
π/2
0
sin(2n + 1)x
x
dx.
On va prouver que
π/2
0
sin(2n + 1)x
sin x
dx =
π
2
(n ∈ N
∗ )
(1)
et
lim
n→+∞
π/2
0
sin(2n + 1)x
x
dx −
π/2
0
sin(2n + 1)x
sin x
dx
= 0.
(2)
Pour prouver (1), on se rappelle que
1
2
+ cos x + cos 2x + · · · + cos nx =
sin
2n+1
2 x
2 sin
x
2
pour x ∈ ]0 , 2π[. Donc,
sin(2n + 1)x
sin x
= 1 + 2 cos 2x + 2 cos 4x + · · · + 2 cos 2nx, x ∈ ]0 , π[ .
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