Solutions
I.5.13. Non. Prenez f (x) = e −x + g(x), x ∈ R + , où
g(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
si x ∈
0 ,
7
4
,
1
si x = 2, 3, . . .
n 2 (x − n) + 1
si x ∈
n − n −2 , n
, n = 2, 3, . . .
−n 2 (x − n) + 1 si x ∈
n , n + n −2
, n = 2, 3, . . .
0
sinon.
I.5.14. Oui, elle l’implique. En effet, si on n’a pas lim
x→+∞
f (x) = 0, il existe
alors ε > 0 et une suite {x n } tendant vers +∞ telle que x n+1 − x n > 2ε et
telle que f (x n ) ε. D’après le théorème des accroissements finis,
f (x) = f (x n ) + f
(ξ n )(x − x n ), x n < ξ n < x < x n +
ε
4
.
En conséquence,
f (x) > ε − 2
ε
4
=
ε
2
pour x ∈
x n , x x +
ε
4
et
+∞
a
f (x) dx
+∞
n=1
x n+1
xn
f (x) dx >
+∞
n=1
xn+ε/4
xn
f (x) dx
+∞
n=1
ε 2
8
= +∞.
Contradiction.
I.5.15. On suppose, contrairement à l’énoncé, que l’on n’a pas
lim
x→+∞
f (x) = 0. Il existe alors un réel ε > 0 et une suite croissante
{x n } tendant vers +∞ telle que soit f (x n ) ε pour tout n, soit f (x n ) −ε
pour tout n. Supposons, par exemple, que f (x n ) ε pour tout n. Par
continuité uniforme de f , il existe δ > 0 tel que |f (t) − f (s)| <
ε
2 si |t − s| < δ.
Donc, pour t ∈ [x n − δ , x n + δ], on obtient f (t) >
ε
2 , d’où
xn+δ
xn−δ
f (x) dx > εδ.
(1)
D’autre part, puisque l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx converge, d’après le
théorème de Cauchy (voir I.5.10), il existe a 0 > a tel que pour a 2 > a 1 > a 0 ,
a 2
a 1
f (x) dx
< εδ,
ce qui contredit (1).
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