Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
De plus, on peut remarquer que si f est continue sur [a , +∞[ et
lim
x→+∞
f (x) = 0, f est alors uniformément continue sur [a , +∞[ (voir, par
exemple, I.5.7(b) (vol. II)).
On notera aussi que le résultat de I.5.14 est un cas particulier de ce problème.
I.5.16. Soit {x n } une suite croissante tendant vers +∞. Étant donné ε > 0,
il existe alors n 0 tel que
+∞
xn 0
f (x) dx < ε.
Donc, par monotonie de f , pour n > n 0 ,
(x n − x n 0 )f (x n )
xn
xn 0
f (x) dx
+∞
xn 0
f (x) dx < ε
et
0 x n f (x n )
x n
x n − x n 0
ε.
En faisant tendre n vers +∞, on obtient 0 lim
n→+∞
x n f (x n ) ε. Puisque l’on
peut choisir ε arbitrairement, on voit que lim
n→+∞
x n f (x n ) = 0.
Pour voir que la réciproque est fausse, considérez, par exemple, f (x) =
1
x ln x
(x 2).
I.5.17.
(a) On suppose, contrairement à l’énoncé, que
+∞
1
dx
x ln f (x) < +∞. On voit,
en utilisant le changement de variable x = e t , que
+∞
0
dt
ln f (e t ) < +∞.
Le résultat du problème précédent implique lim
x→+∞
x
ln f (e x ) = 0. Donc,
pour x suffisamment grand,
x
ln f (e x ) <
1
2 , et
e x
f (e x ) < e −x . En conséquence,
+∞
1
dx
f (x) converge. Contradiction.
(b) On pose
a n = e
e e n
(n ∈ N).
On définit f en posant f (x) = a n pour a n−1 x < a n , n ∈ N ∗ . D’après
I.5.11, on a
+∞
e e
dx
f (x)
=
+∞
n=1
a n − a n−1
a n
= +∞
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