Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.10. L’énoncé découle immédiatement de la définition de l’intégrale impropre et du théorème de Cauchy donné, par exemple, en I.1.37 (vol. II).
I.5.11. Supposons que l’intégrale
+∞
a
f (x) dx converge et que {a n }, a n > a,
est une suite croissante divergente vers +∞. On a alors
+∞
a
f (x) dx = lim
n→+∞
an
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n
k=1
a k
a k−1
f (x) dx
=
+∞
n=1
an
a n−1
f (x) dx.
D’autre part, si la série précédente converge pour toute suite croissante {a n }
divergente vers +∞, alors la limite lim
x→+∞
x
a f (t) dt existe et est égale à la
somme de la série.
Si f est positive, la fonction F (x) =
x
a f (t) dt est alors croissante. De plus,
s’il existe une suite croissante {a n }, a n > a, divergente vers +∞ pour laquelle
la série (1) converge, alors F est majorée par la somme de cette série. Donc la
limite lim
x→+∞
F (x) existe.
I.5.12. D’après le résultat du problème précédent, l’intégrale converge si et
seulement si
+∞
n=0
(n+1)π
nπ
dx
1 + x a sin
2 x
=
+∞
n=0
π
0
dx
1 + (x + nπ)
a sin
2 x
< +∞.
On remarque alors que
π
0
dx
1 + ((n + 1)π)
a sin
2 x
π
0
dx
1 + (x + nπ)
a sin
2 x
π
0
dx
1 + (nπ)
a sin
2 x
.
De plus, on a
π
0
dx
1 + b 2 sin
2 x
= 2
π/2
0
dx
1 + b 2 sin
2 x
.
On voit alors, en faisant le changement de variable y = tan x, que
π/2
0
dx
1 + b 2 sin
2 x
=
+∞
0
dy
1 + (b 2 + 1)y 2 =
π
2
√
b 2 + 1
.
On en déduit alors que l’intégrale converge pour a > 2 et diverge pour
0 < a 2.
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