Solutions
(b) Puisque
sin
2 x
1 + x 2
1
1 + x 2 ,
l’intégrale converge.
(c) Le changement de variable − ln x = t donne
1
0
(− ln x)
a dx =
+∞
0
t
a e
−t dt =
1
0
t
a e
−t dt +
+∞
1
t
a e
−t dt.
Puisque
lim
t→+∞
t a e −t
t −2 = 0,
la dernière intégrale converge pour tout réel a. De plus, puisque
lim
t→0 +
t a e −t
t a = 1,
l’intégrale
1
0 t a e −t dt converge si et seulement si l’intégrale
1
0 t a dt
converge, autrement dit, si et seulement si a > −1.
(d) Comme en (c),
1
0
dx
x a (− ln x) b =
+∞
0
t
−b e
−(1−a)t dt.
On vérifie facilement que cette dernière intégrale diverge vers +∞ pour
tout b si a 1. Puisque, pour a < 1,
+∞
0
t
−b e
−(1−a)t dt = (1 − a)
b−1
+∞
0
t
−b e
−t dt,
on déduit de la solution de (c) que notre intégrale converge si et seulement si a < 1 et b < 1.
(e) La divergence de l’intégrale se déduit de l’inégalité
+∞
0
x
1 + x 2 sin
2 x
dx
+∞
0
x
1 + x 2 dx.
I.5.9. Puisque f (t) +
1
f (t) 2, on voit que
x
a
f (t)g(t) dt +
x
a
g(t)
f (t)
dt 2
x
a
g(t) dt.
On obtient le résultat voulu en faisant tendre x vers +∞.
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