Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
On a alors
a n =
1
n
n
k=1
ln
k
n
+ ln n
2
−
1
n
n
k=1
ln
k
n
+ ln n
2
=
1
n
n−1
k=1
ln
k
n
2
−
1
n
n−1
k=1
ln
k
n
2
.
Donc, d’après I.5.3 et I.5.1(d),
lim
n→+∞
a n =
1
0
(ln x)
2 dx −
1
0
ln x dx
2
= 2 − 1 = 1.
I.5.7. On remarque d’abord que le théorème de Cauchy (voir, par
exemple, I.1.37 (vol. II)) implique le critère suivant pour la convergence
des intégrales impropres : pour g : ]a , b] −→ R, l’intégrale impropre
b
a g(x) dx
converge si et seulement si, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
a 2
a 1
g(x) dx
< ε pour tous a 1 et a 2 tels que a < a 1 < a + δ et a < a 2 < a + δ.
Il s’ensuit, par hypothèse, que
lim
x→0 +
2x
x
t
α f (t) dt = 0.
Clairement, on peut supposer qu’il existe x 0 > 0 tel que f est soit strictement
positive, soit strictement négative sur ]0 , x 0 [. Si f est strictement positive sur
]0 , x 0 [ et décroissante, alors
2x
x
t
α f (t) dt >
f (2x)x α x
si α 0,
f (2x)(2x) α x si α < 0.
De même, si f est strictement positive sur ]0 , x 0 [ et croissante, alors
2x
x
t
α f (t) dt >
f (x)x α x
si α 0,
f (x)(2x) α x si α < 0.
Les inégalités précédentes impliquent lim
x→0 +
f (x)x α+1 = 0. Un raisonnement
analogue s’applique au cas où f est strictement négative sur ]0 , x 0 [.
I.5.8.
(a) On a
+∞
2
dx
x ln x
= lim
x→+∞
ln ln x − ln ln 2 = +∞.
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On a alors
a n =
1
n
n
k=1
ln
k
n
+ ln n
2
−
1
n
n
k=1
ln
k
n
+ ln n
2
=
1
n
n−1
k=1
ln
k
n
2
−
1
n
n−1
k=1
ln
k
n
2
.
Donc, d’après I.5.3 et I.5.1(d),
lim
n→+∞
a n =
1
0
(ln x)
2 dx −
1
0
ln x dx
2
= 2 − 1 = 1.
I.5.7. On remarque d’abord que le théorème de Cauchy (voir, par
exemple, I.1.37 (vol. II)) implique le critère suivant pour la convergence
des intégrales impropres : pour g : ]a , b] −→ R, l’intégrale impropre
b
a g(x) dx
converge si et seulement si, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
a 2
a 1
g(x) dx
< ε pour tous a 1 et a 2 tels que a < a 1 < a + δ et a < a 2 < a + δ.
Il s’ensuit, par hypothèse, que
lim
x→0 +
2x
x
t
α f (t) dt = 0.
Clairement, on peut supposer qu’il existe x 0 > 0 tel que f est soit strictement
positive, soit strictement négative sur ]0 , x 0 [. Si f est strictement positive sur
]0 , x 0 [ et décroissante, alors
2x
x
t
α f (t) dt >
f (2x)x α x
si α 0,
f (2x)(2x) α x si α < 0.
De même, si f est strictement positive sur ]0 , x 0 [ et croissante, alors
2x
x
t
α f (t) dt >
f (x)x α x
si α 0,
f (x)(2x) α x si α < 0.
Les inégalités précédentes impliquent lim
x→0 +
f (x)x α+1 = 0. Un raisonnement
analogue s’applique au cas où f est strictement négative sur ]0 , x 0 [.
I.5.8.
(a) On a
+∞
2
dx
x ln x
= lim
x→+∞
ln ln x − ln ln 2 = +∞.
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