Solutions
I.5.4. On peut supposer, sans perte de généralité, que f est décroissante et
lim
x→1 −
f (x) est finie. On a alors
1
1
n
f (x) dx
f
1
n
+ f
2
n
+ · · · + f
n−1
n
n
.
Donc, lim
ε→0 +
1
ε f (x) dx existe et est finie.
I.5.5. On considère
f (x) =
1
x
−
1
1 − x
.
La fonction f est décroissante sur ]0 , 1[, on a
lim
n→+∞
f
1
n
+ f
2
n
+ · · · + f
n−1
n
n
= 0,
mais l’intégrale impropre
1
0 f (x) dx n’existe pas.
I.5.6.
(a) On voit, en prenant f (x) = ln x, que
lim
n→+∞
ln
1
n + ln
2
n + · · · + ln
n−1
n
n
= −1.
Donc,
lim
n→+∞
n
√
n!
n
=
1
e
.
(b) On obtient, en prenant f (x) = ln sin(
πx
2 ) pour x ∈ ]0 , 1] et en utilisant
I.5.1(b),
lim
n→+∞
n
sin
π
2n
sin
2π
2n
. . . sin
(n − 1)π
2n
=
1
2
.
(c) On pose
a n =
1
n
n
k=1
(ln k)
2
−
1
n
n
k=1
ln k
2
.
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