Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
car
π
2
0 ln(tan x) dx = 0 (voir la solution de (b)). Finalement, une intégration par parties donne
π
2
0
cos 2x ln(tan x) dx = 0 −
π
2
0
sin 2x
2
×
1
tan x
×
1
cos 2 x
dx = −
π
2
.
(k) On voit, en utilisant le changement de variable t = π − x, que
I =
π
0
ln(1 + cos x) dx =
π
0
ln(1 − cos t) dt.
On a donc, par symétrie de sin x et d’après (b),
2I =
π
0
ln
1 + cos
2 x
dx = 2
π
0
ln(sin x) dx
= 4
π/2
0
ln(sin x) dx = −2π ln 2.
(l) Le changement de variable x = tan t et (b) donnent
+∞
0
ln
x +
1
x
dx
1 + x 2 =
π/2
0
ln
1
sin t cos t
dt = π ln 2.
I.5.2. On observe que
f α (x) = −
α
x
−
α
x
+ α
1
x
−
1
x
.
Puisque
α/j
α/(j+1)
α
x
−
α
x
dx = α
1/j
1/(j+1)
1
x
−
1
x
dx
pour j ∈ N ∗ , on a
1
0
f α (x) = −
α
0
α
x
−
α
x
dx −
1
α
α
x
−
α
x
dx + α
1
0
1
x
−
1
x
dx
= −
1
α
α
x
−
α
x
dx = α ln α.
I.5.3. On suppose, par exemple, que f est croissante sur ]0 , 1[. On a alors
1−
1
n
0
f (x) dx
f
1
n
+ f
2
n
+ · · · + f
n−1
n
n
1
1
n
f (x) dx,
ce qui implique le résultat cherché.
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