Solutions
On voit donc que
a
−a
(f (x) + f (−x)) x
n dx = 0 pour n ∈ N
et le résultat cherché découle de I.4.34.
(b) La démonstration se mène comme en (a).
I.4.37. La première formule de la moyenne (voir I.1.26) donne
b
a
(f (x + h) − f (x)) dx =
b+h
a+h
f (x) dx −
b
a
f (x) dx
=
a
a+h
f (x) dx +
b+h
b
f (x) dx
= −hf (a + θh) + hf (b + θ
h),
où θ, θ ∈ [0 , 1]. La continuité de f donne alors
lim
h→0
1
h
b
a
(f (x + h) − f (x)) dx = f (b) − f (a).
I.4.38. On a
g(x) =
b+x
a+x
f (u) du.
Donc,
g
(x) = f (b + x) − f (a + x).
I.4.39. On obtient, en utilisant la règle de L’Hospital :
(a)
lim
x→+∞
x
1 ln
1 +
1
√
t
dt
√ x
= lim
x→+∞
ln
1 +
1
√
x
1
2
√ x
= 2.
(b)
lim
x→0
1
x
cos t
t 2 dt
1
x
= lim
x→0
cos x = 1.
(c)
lim
x→0 +
x 2
0 sin
√
t dt
x 3
= lim
x→0 +
2x sin x
3x 2 =
2
3
.
(d)
lim
x→+∞
1
x a
x
0
ln
P (t)
Q(t)
dt
= lim
x→+∞
ln P (x) − ln Q(x)
ax a−1
= 0.
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