Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.4.40. On obtient, en utilisant la règle de L’Hospital :
(a)
lim
x→+∞
1
ln x
x
0
dt
5
√
1 + t 5
= lim
x→+∞
x
5
√
1 + x 5
= 1.
(b)
lim
x→0
1
x
x
0
(1 + sin t)
1
t dt
= lim
x→0
(1 + sin x)
1
x = e,
car
lim
x→0
ln(1 + sin x)
x
= lim
x→0
cos x
1 + sin x
= 1.
(c)
lim
x→0 +
1
x 2
x
0
t
1+t dt
= lim
x→0 +
x x
2
=
1
2
.
(d)
lim
x→+∞
1
x 2 ln
x
0
e
t 2 dt = lim
x→+∞
e x 2
2x
x
0 e t 2 dt
= lim
x→+∞
2xe x 2
2
x
0 e t 2 dt + 2xe x 2
= lim
x→+∞
e x 2 + 2x 2 e x 2
2e x 2 + 2x 2 e x 2 = 1.
Donc, lim
x→+∞
x
0 e t 2 dt
1/x 2
= e.
I.4.41. Si A = |f (x 0 )| = max {|f (x)| : x ∈ [0 , 1]}, on a alors, pour p > 0,
1
0
|f (x)|
p dx
1/p
1
0
A
p
1/p
= A.
D’autre part, par continuité de la fonction f , étant donné ε > 0, il existe un
intervalle [α , β] ⊂ [0 , 1] tel que |f (x)| A−
ε
2 pour x ∈ [α , β]. En conséquence,
1
0
|f (x)|
p dx
1/p
β
α
|f (x)|
p dx
1/p
β
α
A −
ε
2
p
1/p
=
A −
ε
2
(β − α)
1/p
A − ε
pour p suffisamment grand.
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