Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.4.34. Clairement,
b
a
P (x)f (x) dx = 0
pour tout polynôme P . D’après le théorème d’approximation de Weierstrass
(voir, par exemple, III.1.33 (vol. II)), il existe une suite de polynômes {P n }
uniformément convergente sur [a, b] vers f . Donc, d’après le résultat de I.3.9,
b
a
f
2 (x) dx = lim
n→+∞
b
a
P n (x)f (x) dx = 0,
ce qui donne f (x) ≡ 0 sur [a , b].
I.4.35. Par hypothèse,
b
a
P (x)f (x) dx = 0
pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à N . On suppose, contrairement à la proposition, que a x 1 < x 2 < · · · < x m b, m N , sont les zéros
de f . On choisit alors les points x i 1 , . . . , x ir où f change de signe. On peut,
sans perte de généralité, supposer que f (x) 0 dans [a, x i 1 ], f (x) 0 dans
[x i 1 , x i 2 ], et ainsi de suite. On pose
P (x) =
r
k=1
(x i k − x).
On a alors P (x)f (x) 0 sur [a , b] et P (x)f (x) > 0 sur chacun des intervalles
]a , x i 1 [, ]x i 1 , x i 2 [, . . ., ]x im , b[. On en déduit que
b
a
P (x)f (x) dx > 0,
bien que P soit un polynôme de degré inférieur ou égal à N . Contradiction.
I.4.36. Soit f ∈ C [−a,a] .
(a) On remarque d’abord que, par hypothèse,
a
−a
(f (x) + f (−x)) x
2n dx =
a
−a
f (x)x
2n dx +
a
−a
f (−x) (−x)
2n dx
= 2
a
−a
f (x)x
2n dx = 0.
De plus,
a
−a
(f (x)+f (−x))x
2n+1 dx =
a
−a
f (x)x
2n+1 dx−
a
−a
f (−x)(−x)
2n+1 dx.
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