Solutions
I.4.32. On pose
F (x) =
x
0
f (t) dt,
on obtient F (0) = f (0) = 0 et, d’après la formule de Taylor avec reste sous
la forme de Peano (voir, par exemple, II.3.1 (vol. II)),
F (x) = F (0) + F
(0)x +
1
2
F
(0)x
2 + o
x
2
.
De même,
f (θ)x = F
(θ)x = x(F
(0) + F
(0)θ + o(θ)).
Par hypothèse,
F
(0)x +
1
2
F
(0)x
2 + o
x
2
= x(F
(0) + F
(0)θ + o(θ)),
ce qui donne
lim
x→0 +
θ(x)
x
=
1
2
.
I.4.33. Soit ε un réel donné tel que 0 < ε <
b−a
2 . Puisque f est strictement
croissante,
f (b−ε)
f (b−2ε) > 1. Il existe donc un entier strictement positif p 0 tel que
f (b − ε)
f (b − 2ε)
p
>
b − a
ε
pour p > p 0 ou, de façon équivalente,
(f (b − ε))
p >
b − a
ε
(f (b − 2ε))
p .
Puisque
b
a
(f (x))
p dx >
b
b−ε
(f (b − ε))
p dx,
on voit que
1
b − a
b
a
(f (x))
p dx >
1
b − a
b
b−ε
(f (b − ε))
p dx
=
ε (f (b − ε))
p
b − a
> (f (b − 2ε))
p .
On en déduit que θ(p) doit vérifier θ(p) > b − 2ε pour p > p 0 , ce qui signifie
que lim
p→+∞
θ(p) = b.
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