Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Donc,
lim
n→+∞
1
0
f (nx) dx = a
(voir, par exemple, II.3.2 (vol. I)).
I.4.13. On a
1
0
f (x)
f (x) + f (1 − x)
dx =
1/2
0
f (x)
f (x) + f (1 − x)
dx +
1
1/2
f (x)
f (x) + f (1 − x)
dx
=
1/2
0
f (x)
f (x) + f (1 − x)
dx +
1/2
0
f (1 − x)
f (x) + f (1 − x)
dx =
1
2
.
I.4.14. On a
a
−a
f (x)
1 + e x dx =
0
−a
f (x)
1 + e x dx +
a
0
f (x)
1 + e x dx
=
a
0
e t f (t)
1 + e t dt +
a
0
f (x)
1 + e x dx
=
a
0
f (x) dx.
I.4.15. S’il existe x 0 ∈ [a , b] tel que f (x 0 ) > 0, alors par continuité de f ,
f (x) > 0 sur un intervalle [α , β] ⊂ [a , b]. Donc
b
a
f (x) dx
β
α
f (x) dx > 0,
contradiction.
I.4.16. Soit a x 0 < x 0 + h b. Par hypothèse et d’après la première
formule de la moyenne (voir I.1.26),
0 =
x 0 +h
x 0
f (x) dx = f (x 0 + θh)h
où θ ∈ [0 , 1]. Donc f (x 0 + θh) = 0. Puisque l’on peut choisir arbitrairement
h > 0, on voit que f (x 0 ) = 0.
I.4.17. En prenant g = f , on obtient
b
a (f (x))
2 dx = 0 et, d’après le résultat
de I.4.15, f (x) ≡ 0.
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