Solutions
I.4.11.
(a) On va prouver que
lim
n→+∞
b
a
f (x) cos(nx) dx = lim
n→+∞
b
a
f (x) sin(nx) dx = 0.
La fonction f étant uniformément continue sur [a , b], pour ε > 0 donné,
il existe δ > 0 tel que |f (t) − f (s)| < ε si |t − s| < δ. En prenant une
partition a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b de pas inférieur à δ, on obtient
b
a
f (x) cos(nx) dx =
m
k=1
x k
x k−1
f (x) cos(nx) dx
=
m
k=1
f (x k )
x k
x k−1
cos(nx) dx +
x k
x k−1
(f (x) − f (x k )) cos(nx) dx
et
b
a
f (x) cos(nx) dx
m
k=1
|f (x k )|
x k
x k−1
cos(nx) dx
+ ε(b − a)
2
n
Mm + ε(b − a),
où M = max {|f (x)| : x ∈ [a , b]}. Donc, lim
n→+∞
b
a f (x) cos(nx) dx = 0.
La démonstration de l’autre égalité se conduit de façon semblable.
(b) D’après (a), on a
lim
n→+∞
b
a
f (x) sin
2 (nx) dx = lim
n→+∞
b
a
f (x)
1 − cos(2nx)
2
dx
=
1
2
b
a
f (x) dx.
I.4.12. On a
1
0
f (nx) dx =
1
n
n
0
f (x) dx =
1
n
n−1
k=0
k+1
k
f (x) dx
=
1
n
n−1
k=0
1
0
f (x + k) dx
=
a 0 + a 1 + · · · + a n−1
n
.
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