Solutions
I.4.18. On observe d’abord que si f est Riemann-intégrable sur [a , b], alors
lim
n→+∞
b
a+
1
n
f (x) dx =
b
a
f (x) dx.
En effet,
b
a
f (x) dx −
b
a+
1
n
f (x) dx
M
n
où M = sup {|f (x)| : x ∈ [a , b]}. On pose, pour un entier n suffisamment
grand,
g(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
nf
a +
1
n
(x − a)
si x ∈
a , a +
1
n
,
f (x)
si x ∈
a +
1
n , b −
1
n
,
−nf
b −
1
n
(x − b) si x ∈
b −
1
n , b
.
On a alors, par hypothèse,
0 =
b
a
f (x)g(x) dx
=
a+
1
n
a
nf
a +
1
n
(x − a)f (x) dx +
b−
1
n
a+
1
n
(f (x))
2 dx
−
b
b−
1
n
nf
b −
1
n
(x − b)f (x) dx.
On note maintenant que
a+
1
n
a
nf
a +
1
n
(x − a)f (x) dx
M
2 1
2n
,
ce qui montre que
lim
n→+∞
a+
1
n
a
nf
a +
1
n
(x − a)f (x) dx = 0.
En conclusion, on obtient
lim
n→+∞
b−
1
n
a+
1
n
(f (x))
2 dx =
b
a
(f (x))
2 dx = 0,
ce qui, combiné avec le résultat de I.4.15, donne f (x) ≡ 0.
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