Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
on obtient alors, avec (3),
I 2n+2 =
2n + 1
2n + 2
×
(2n − 1)!!
(2n)!!
×
π
2
=
(2n + 1)!!
(2n + 2)!!
×
π
2
.
Ceci complète la démonstration de (1). L’égalité (2) se démontre de la
même façon.
(c) On a
e
1
e
|ln x| dx = −
1
1
e
ln x dx +
e
1
ln x dx.
En utilisant une intégration par parties, on obtient
e
1
e
|ln x| dx = 2 −
2
e
.
(d) Le changement de variable t = π − x donne
I =
π
0
x sin x
1 + cos 2 x
dx =
π
0
(π − x) sin x
1 + cos 2 x
dx
=
π
0
π sin x
1 + cos 2 x
dx −
π
0
x sin x
1 + cos 2 x
dx.
Donc,
I =
1
2
π
0
π sin x
1 + cos 2 x
dx =
π 2
4
.
(e) On a
I 2n =
π
4
0
tan
2n x dx =
π
4
0
1
cos 2 x
− 1
tan
2n−2 x dx
=
π
4
0
tan
2n−2 x d(tan x) − I 2n−2 =
1
2n − 1
− I 2n−2 .
On obtient alors par récurrence
I 2n = (−1)
n
π
4
−
1 −
1
3
+
1
5
− · · · + (−1)
n−1
1
2n − 1
.
(f) On a
π
4
0
sin x
sin x + cos x
dx =
π
4
0
sin
π
4 − x
sin
π
4 − x
+ cos
π
4 − x
dx
=
π
4
0
cos x − sin x
2 cos x
dx =
π
8
+
1
2
ln
√
2
2
.
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