Solutions
I.4. Intégrales définies
I.4.1.
(a) On a
4
0
|x − 1|
|x − 2| + |x − 3|
dx =
1
0
x − 1
2x − 5
dx +
2
1
x − 1
−2x + 5
dx
+
3
2
(x − 1) dx +
4
3
x − 1
2x − 5
dx
= 2 +
9
4
ln 3 −
3
4
ln 5.
(b) En utilisant le changement de variable t =
π
2 − x, on voit que
π/2
0
sin
n x dx =
π/2
0
cos
n x dx.
On montre alors par récurrence que
π/2
0
sin
2n x dx =
1 × 3 × · · · × (2n − 1)
2 × 4 × · · · × (2n)
×
π
2
=
(2n − 1)!!
(2n)!!
×
π
2
(1)
et
π/2
0
sin
2n+1 x dx =
2 × 4 × · · · × (2n)
1 × 3 × · · · × (2n + 1)
=
(2n)!!
(2n + 1)!!
.
(2)
On vérifie facilement que chacune des deux égalités est vraie pour n = 1.
Pour n > 1, l’intégration par parties donne
I n =
π/2
0
sin
n x dx = −
π/2
0
sin
n−1 x d cos x
=
π/2
0
cos x d sin
n−1 x = (n − 1)
π/2
0
cos
2 x sin
n−2 x dx
= (n − 1)I n−2 − (n − 1)I n ,
d’où,
I n =
n − 1
n
I n−2 .
(3)
Donc si
I 2n =
(2n − 1)!!
(2n)!!
×
π
2
,
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