Solutions
(g) On remarque que
I =
π
2
0
sin
n x
sin
n x + cos n x
dx =
π
2
0
cos n x
sin
n x + cos n x
dx.
Il s’ensuit que
2I =
π
2
0
dx =
π
2
.
I.4.2. En utilisant le changement de variable x = cos t et I.4.1(b), on obtient
1
0
1 − x
2
n dx =
π/2
0
sin
2n+1 t dt =
(2n)!!
(2n + 1)!!
.
D’autre part,
1
0
1 − x
2
n dx =
n
k=0
n
k
(−1)
k
1
0
x
2k dx =
n
k=0
n
k
(−1)
k
1
2k + 1
.
I.4.3. On suppose, par exemple, que f (x
+
0 ) = a. On a
f (x 0 ) = F
(x 0 ) = lim
x→x 0
F (x) − F (x 0 )
x − x 0
.
On obtient d’autre part, en utilisant la règle de l’Hospital,
lim
x→x
+
0
F (x) − F (x 0 )
x − x 0
= lim
x→x
+
0
F (x)
1
= lim
x→x
+
0
f (x) = a.
I.4.4. On pose F (x) = x 2 cos
1
x − 2
x
0 t cos
1
t dt pour x = 0 et F (0) = 0. On
a alors F (x) = f (x) pour x ∈ R. Donc F est une primitive de f dans le cas
où c = 0. Si c = 0, alors une primitive G de f serait égale à F (x) + c 1 pour
x > 0 et F (x) + c 2 pour x < 0, c 1 et c 2 étant des constantes. De plus, puisque
G doit être continue en 0, c 1 = c 2 et G (0) = 0. Ceci montre que f admet une
primitive si et seulement si c = 0.
I.4.5. On va prouver que
f (x) =
−
π
kx 3 sin
π
x 2
si x ∈ [x 2k+1 , x 2k−1 ],
0
si x = 0
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