IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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Exemple 1 – ϕ(x) = sin x, x ∈
0,
π
2
. On a ici sin x < x pour tout x ∈
0,
π
2
.
Pour tout x 0 ∈
0,
π
2
la suite it´ er´ ee (x p ) est strictement d´ ecroissante minor´ ee, donc
convergente. La limite l v´ erifie l = sin l, donc l = 0.
Exemple 2 – ϕ(x) = sinh x, x ∈ [0, +∞[. Comme sinh x > x pour tout x > 0,
on voit que le point fixe 0 est r´ epulsif et que ∀x 0 > 0, lim
p→+∞
x p = +∞.
¾º¾º ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÖÖÔÔÔÕÙÙ
Nous voulons d´ ecrire ici un peu plus finement le comportement de la suite it´ erative
x p+1 = ϕ(x p ) au voisinage d’un point fixe attractif a. On suppose donc ϕ de
classe C
1 et |ϕ
(a)| < 1. On peut de nouveau distinguer plusieurs cas.
(1) ϕ
(a) > 0.
Par continuit´ e de ϕ
on va avoir 0 < ϕ
(x) < 1 au voisinage de a, donc il existe
un voisinage [a − h, a + h] sur lequel x → ϕ(x) et x → x − ϕ(x) sont strictement
croissantes, par suite
x < ϕ(x) < ϕ(a) = a pour x ∈ [a − h, a[
a = ϕ(a) < ϕ(x) < x pour x ∈ ]a, a + h],
ce qui implique en particulier que ϕ([a − h, a + h] ⊂ [a − h, a + h]. Il est facile de
voir dans ce cas que la suite it´ erative x p+1 = ϕ(x p ) va ˆ etre strictement croissante
pour x 0 ∈ [a − h, a[ et strictement d´ ecroissante si x 0 ∈ ]a, a + h]. On obtient alors
typiquement un graphe en escalier :
x
y
a − h
a
a + h
y = x
y = ϕ(x)
x 0
x 1 ... x p
x 0
x 1
ϕ(x 0 )
(2) ϕ
(a) < 0.
Par continuit´ e de ϕ
on va avoir −1 < ϕ
(x) < 0 sur un voisinage [a − h, a + h] de
a, sur lequel ϕ est donc strictement d´ ecroissante. Si x < a, alors ϕ(x) > ϕ(a) = a,