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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
tandis que si x > a, on ϕ(x) < ϕ(a) = a. Comme ϕ ◦ ϕ est strictement croissante
(de d´ eriv´ ee < 1) sur [a − h, a + h], le cas (1) montre que les suites x 2p et x 2p+1 sont
monotones de limite Il s’agit donc de suites adjacentes, et on obtient un graphe en
escargot :
x
y
a − h
a
a + h
y = x
y = ϕ(x)
x 0
x 1
x 2
x 3
x p x p+1
ϕ(x p )
(3) ϕ
(a) = 0.
En g´ en´ eral, on ne va rien pouvoir conclure. Cependant, si ϕ est de classe C
2 et
ϕ
(a) = 0, alors le point a est un extremum local. On choisira h assez petit pour
que ϕ
ne change pas de signe et |ϕ
| < 1 sur [a − h, a + h]. Alors, si ϕ
(a) < 0
(resp. ϕ
(a) > 0), le point a est un maximum local (resp. un minimum local), et
pour x 0 ∈ [a − h, a + h] {a} quelconque, il est facile de voir que la suite (x p )
est strictement croissante (resp. d´ ecroissante), mis ` a part peut-ˆ etre pour le terme
initial x 0 . On aboutit encore `
a un graphe en escalier.
¾º¿º ÜÜÑÔÐÐ Ö ×ÓÐÙØØÓÒ ³ ÕÙÙØØÓÒ
Soit `
a r´ esoudre l’´ equation f (x) = x
3
− 4x + 1 = 0, x ∈ R. On a f
(x) = 3x
2
− 4 et
l’´ etude de f donne :
x
−∞ −
2
√
3
2
√
3
+∞
f
(x)
+ 0
−
0
−
f (x)
1 +
16
3
√ 3
+∞
−∞
1 −
16
3
√ 3