IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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−2 −1 0
1
2
x
−2
1
4
y
y = f (x)
a 1
a 2
a 3
2
√
3
L’´ equation f (x) = 0 admet donc 3 racines r´ eelles a 1 < a 2 < a 3 . le calcul de quelques
valeurs de f donne
−2, 5 < a 1 < −2, 0 < a 2 < 0, 5, 1, 5 < a 3 < 2.
L’´ equation f (x) = 0 peut se r´ ecrire x = ϕ(x) avec ϕ(x) =
1
4 (x
3 + 1). On a
ϕ
(x) =
3
4 x
2 , d’o` u :
• sur [−2, 5 ; −2],
ϕ
≥ ϕ
(2) = 3.
• sur [0 ; 0, 5],
0 ≤ ϕ
≤ 0, 1875.
• sur [1, 5 ; 2],
ϕ
≥ ϕ
(1, 5) = 1, 6875.
Seul a 2 est un point fixe attractif de ϕ. L’intervalle [0 ; 0, 5] est n´ ecessairement
stable par ϕ puisqu’il contient un point fixe et que ϕ est contractante et croissante.
Pour tout x 0 ∈ [0 ; 0, 5] on aura donc a 2 = lim
p→+∞
x p .
Pour obtenir a 1 et a 3 , on peut it´ erer la fonction ϕ
−1 (x) =
3
√
4x − 1, qui est
contractante au voisinage de ces points.
Il sera num´ eriquement plus efficace de r´ ecrire l’´ equation sous la forme x
2
−4+
1
x = 0,
soit x = ϕ + (x) ou x = ϕ − (x) avec
ϕ + (x) =
4 −
1
x
, ϕ − (x) = −
4 −
1
x
,
suivant que x est ≥ 0 ou ≤ 0. on a alors ϕ
± = ±
1
2x 2
4 −
1
x
−1/2 , de sorte que
0 ≤ ϕ
+ ≤ ϕ
+ (1, 5) 0, 122 sur [1, 5 ; 2],
ϕ
− (−2) −0, 059 ≤ ϕ
≤ 0 sur [−2, 5 ; −2] ;
La convergence sera donc assez rapide. Nous allons voir qu’il existe en fait une
m´ ethode g´ en´ erale plus efficace et plus syst´ ematique.