100
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
¾ººº Å ØØÓÓÓ ÆÆÛØÓÒ
On cherche ` a ´ evaluer num´ eriquement la racine a d’une ´ equation f (x) = 0, en
supposant qu’on dispose d’une valeur grossi` ere x 0 de cette racine.
a
x 1 x 0
x
f
y
L’id´ ee est de remplacer la courbe repr´ esentative de f par sa tangente au point x 0 :
y = f
(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ).
L’abscisse x 1 du point d’intersection de cette tangente avec l’axe y = 0 est donn´ ee
par
x 1 = x 0 −
f (x 0 )
f (x 0 )
;
x 1 est en g´ en´ eral une meilleure approximation de a que x 0 . On est donc amen´ e ` a
it´ erer la fonction
ϕ(x) = x −
f (x)
f (x)
.
Supposons que f soit de classe C
2 et que f
(a) = 0. La fonction ϕ est alors de
classe C
1 au voisinage de a et
ϕ
(x) = 1 −
f
(x)
2
− f (x)f
(x)
f (x) 2
=
f (x)f
(x)
f (x) 2 ,
ce qui donne ϕ(a) = a, ϕ
(a) = 0. La racine a de f (x) = 0 est donc un point fixe
superattractif de ϕ. Le r´ esultat suivant donne une estimation de l’´ ecart |x p − a|.
Th´ eor` eme – On suppose que f est de classe C
2 sur l’intervalle I = [a − r, a + r]
et que f
= 0 sur I. Soit M = max
x∈I
f
(x)
f (x)
et h = min
r,
1
M
. Alors pour tout
x ∈ [a−h, a+h] on a |ϕ(x)−a| ≤ M |x−a|
2 , et pour tout point initial x 0 ∈ [a−h, a+h]
|x p − a| ≤
1
M
(M |x 0 − a|)
2
p .