IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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D´ emonstration. Introduisons la fonction u(x) = f (x)/f
(x). La fonction f est
monotone sur I, nulle en a, donc f a mˆ eme signe que f
(a)(x − a), ce qui entraˆ ıne
que u(x) a mˆ eme signe que x − a. De plus
u
(x) = 1 −
f (x)f
(x)
f (x) 2 = 1 −
f
(x)
f (x)
u(x),
donc |u
(x)| ≤ 1 + M |u(x)| sur I. Cette in´ egalit´ e permet d’obtenir le
Lemme 1 – On a |u(x)| ≤
1
M (e
M |x−a|
− 1) sur I.
Montrons-le par exemple pour x ≥ a. Posons v(x) = u(x)e
−Mx . Il vient
u
(x) ≤ 1 + Mu(x), d’o` u
v
(x) = (u
(x) − Mu(x))e
−Mx
≤ e
−Mx .
Comme v(a) = u(a) = 0, on en d´ eduit par int´ egration
v(x) ≤
1
M
(e
−Ma
− e
−Mx ),
soit encore u(x) ≤
1
M (e
M (x−a)
− 1). Le lemme 1 est donc d´ emontr´ e.
Lemme 2 – Pour |t| ≤ 1, e
|t|
− 1 ≤ 2|t|.
En effet la fonction exponentielle est convexe, donc sur tout intervalle la courbe est
situ´ ee sous sa corde. Sur l’intervalle [0, 1], ceci donne e
t
≤ 1 + (e − 1)t, d’o` u le
lemme 2 puisque e − 1 < 2.
On peut maintenant ´ ecrire ϕ
(x) = u(x)
f
(x)
f (x) , et le lemme 1 implique
|ϕ
(x)| ≤ M |u(x)| ≤ e
M |x−a|
− 1.
Grˆ ace au lemme 2, on obtient |ϕ
(x)| ≤ 2M |x − a| pour |x − a| ≤ min
r,
1
M
.
Comme ϕ(a) = a, on voit par int´ egration que pour tout x ∈ [a − h, a + h] on a
|ϕ(x) − a| ≤ M |x − a|
2 ,
soit encore M |ϕ(x) − a| ≤ (M |x − a|)
2 . L’estimation M |x p − a| ≤ (M |x 0 − a|)
2p
s’en d´ eduit aussitˆ ot par r´ ecurrence.
Exemple – Pour la fonction f (x) = x
3
− 4x + 1 du § 2.3, on a
ϕ(x) = x −
x
3
− 4x + 1
3x 2 − 4
=
2x
3
− 1
3x 2 − 4
.
Par it´ eration de ϕ, on obtient alors les valeurs suivantes :