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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
x 0
−2
0
2
x 1
−2, 125
0, 25
1, 875
x 2
−2, 114975450
0, 254098361
1, 860978520
x 3
−2, 114907545
0, 254101688
1, 860805877
x 4
−2, 114907541
= x 3
1, 860805853
x 5
= x 4
= x 4
Ceci donne des valeurs approch´ ees de a 1 , a 2 , a 3 ` a 10
−9 pr` es environ. Le nombre
d’it´ erations n´ ecessaires pour obtenir une pr´ ecision de 10
−9 par la m´ ethode de
Newton est typiquement 3 ou 4 (10
−2
3 = 10
−8 , 10
−2
4 = 10
−16 . . .). Le lecteur
pourra v´ erifier que le nombre d’it´ erations requises avec les fonctions ϕ du § 2.3 est
nettement plus ´ elev´ e (de 8 ` a 20 suivant les cas).
¾ººº Å ØØÓÓÓ ÐÐ × ÒØØ
Dans certaines situations, la d´ eriv´ ee f
est tr` es compliqu´ ee ou mˆ eme impossible ` a
expliciter (c’est le cas par exemple si la fonction f est le r´ esultat d’un algorithme
complexe). On ne peut alors utiliser telle quelle la m´ ethode de Newton.
L’id´ ee est de remplacer f
par le taux d’accroissement de f sur un petit intervalle.
Supposons qu’on dispose de deux valeurs approch´ ees x 0 , x 1 de la racine a de
l’´ equation f (x) = 0 (fournies par un encadrement x 0 < a < x 1 ).
s´ ecante
f
y
0
x 0 x 2
a
x 1
x
Le taux d’accroissement de f sur l’intervalle [x 0 , x 1 ] est
τ 1 =
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
et l’´ equation de la s´ ecante traversant le graphe de f aux points d’abscisse x 0 et x 1
est
y = τ 1 (x − x 1 ) + f (x 1 ).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
x 0
−2
0
2
x 1
−2, 125
0, 25
1, 875
x 2
−2, 114975450
0, 254098361
1, 860978520
x 3
−2, 114907545
0, 254101688
1, 860805877
x 4
−2, 114907541
= x 3
1, 860805853
x 5
= x 4
= x 4
Ceci donne des valeurs approch´ ees de a 1 , a 2 , a 3 ` a 10
−9 pr` es environ. Le nombre
d’it´ erations n´ ecessaires pour obtenir une pr´ ecision de 10
−9 par la m´ ethode de
Newton est typiquement 3 ou 4 (10
−2
3 = 10
−8 , 10
−2
4 = 10
−16 . . .). Le lecteur
pourra v´ erifier que le nombre d’it´ erations requises avec les fonctions ϕ du § 2.3 est
nettement plus ´ elev´ e (de 8 ` a 20 suivant les cas).
¾ººº Å ØØÓÓÓ ÐÐ × ÒØØ
Dans certaines situations, la d´ eriv´ ee f
est tr` es compliqu´ ee ou mˆ eme impossible ` a
expliciter (c’est le cas par exemple si la fonction f est le r´ esultat d’un algorithme
complexe). On ne peut alors utiliser telle quelle la m´ ethode de Newton.
L’id´ ee est de remplacer f
par le taux d’accroissement de f sur un petit intervalle.
Supposons qu’on dispose de deux valeurs approch´ ees x 0 , x 1 de la racine a de
l’´ equation f (x) = 0 (fournies par un encadrement x 0 < a < x 1 ).
s´ ecante
f
y
0
x 0 x 2
a
x 1
x
Le taux d’accroissement de f sur l’intervalle [x 0 , x 1 ] est
τ 1 =
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
et l’´ equation de la s´ ecante traversant le graphe de f aux points d’abscisse x 0 et x 1
est
y = τ 1 (x − x 1 ) + f (x 1 ).