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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Cas particulier : ϕ
(a) = 0.
Supposons de plus que ϕ soit de classe C
2 et que |ϕ
| ≤ M sur E. La formule de
Taylor donne
ϕ(x) = ϕ(a) + (x − a)ϕ
(a) +
(x − a)
2
2!
ϕ
(c)
= a +
1
2
ϕ
(c)(x − a)
2 ,
c∈ ]a, x[,
d’o` u |ϕ(x) − a| ≤
1
2 M |x − a|
2 , soit encore
1
2 M |ϕ(x) − a| ≤
1
2 M |x − a|
2 . Par
r´ ecurrence, on en d´ eduit successivement
1
2
M |x p − a| ≤
1
2
M |x 0 − a|
2
p
,
|x p − a| ≤
2
M
1
2 M |x 0 − a|
2
p
.
En particulier si x 0 est choisi tel que |x 0 − a| ≤
1
5M , on obtient
|x p − a| ≤
2
M
10
−2
p ;
on voit donc que le nombre de d´ ecimales exactes double environ ` a chaque it´ eration ;
10 it´ erations suffiraient ainsi th´ eoriquement pour obtenir plus de 1000 d´ ecimales
exactes ! La convergence est donc ici extraordinairement rapide.
Ce ph´ enom` ene est appel´ e ph´ enom` ene de convergence quadratique, et le point fixe a
est alors appel´ e parfois point fixe superattractif.
(2) |ϕ
(a)| > 1.
Comme lim
x→0
ϕ(x) − ϕ(a)
x − a
= |ϕ
(a)| > 1, on voit qu’il existe un voisinage
[a − h, a + h] de a tel que
∀x ∈ [a − h, a + h] \ {a}, |ϕ(x) − a| > |x − a|.
On dit alors que le point fixe a est r´ epulsif. Dans ce cas, la d´ eriv´ ee ϕ
est de signe
constant au voisinage de a, donc il existe h > 0 tel que la restriction ϕ| [a−h,a+h]
admette une application r´ eciproque ϕ
−1 d´ efinie sur ϕ([a − h, a + h]), qui est un
intervalle contenant ϕ(a) = a. L’´ equation ϕ(x) = x peut se r´ ecrire x = ϕ
−1 (x) au
voisinage de a, et comme (ϕ
−1 )
(a) = 1/ϕ
(a), le point a est un point fixe attractif
pour ϕ
−1 .
(3) |ϕ
(a)| = 1.
On est ici dans un cas douteux, comme le montrent les deux exemples suivants dans
lesquels a = 0, ϕ
(a) = 1 :
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Cas particulier : ϕ
(a) = 0.
Supposons de plus que ϕ soit de classe C
2 et que |ϕ
| ≤ M sur E. La formule de
Taylor donne
ϕ(x) = ϕ(a) + (x − a)ϕ
(a) +
(x − a)
2
2!
ϕ
(c)
= a +
1
2
ϕ
(c)(x − a)
2 ,
c∈ ]a, x[,
d’o` u |ϕ(x) − a| ≤
1
2 M |x − a|
2 , soit encore
1
2 M |ϕ(x) − a| ≤
1
2 M |x − a|
2 . Par
r´ ecurrence, on en d´ eduit successivement
1
2
M |x p − a| ≤
1
2
M |x 0 − a|
2
p
,
|x p − a| ≤
2
M
1
2 M |x 0 − a|
2
p
.
En particulier si x 0 est choisi tel que |x 0 − a| ≤
1
5M , on obtient
|x p − a| ≤
2
M
10
−2
p ;
on voit donc que le nombre de d´ ecimales exactes double environ ` a chaque it´ eration ;
10 it´ erations suffiraient ainsi th´ eoriquement pour obtenir plus de 1000 d´ ecimales
exactes ! La convergence est donc ici extraordinairement rapide.
Ce ph´ enom` ene est appel´ e ph´ enom` ene de convergence quadratique, et le point fixe a
est alors appel´ e parfois point fixe superattractif.
(2) |ϕ
(a)| > 1.
Comme lim
x→0
ϕ(x) − ϕ(a)
x − a
= |ϕ
(a)| > 1, on voit qu’il existe un voisinage
[a − h, a + h] de a tel que
∀x ∈ [a − h, a + h] \ {a}, |ϕ(x) − a| > |x − a|.
On dit alors que le point fixe a est r´ epulsif. Dans ce cas, la d´ eriv´ ee ϕ
est de signe
constant au voisinage de a, donc il existe h > 0 tel que la restriction ϕ| [a−h,a+h]
admette une application r´ eciproque ϕ
−1 d´ efinie sur ϕ([a − h, a + h]), qui est un
intervalle contenant ϕ(a) = a. L’´ equation ϕ(x) = x peut se r´ ecrire x = ϕ
−1 (x) au
voisinage de a, et comme (ϕ
−1 )
(a) = 1/ϕ
(a), le point a est un point fixe attractif
pour ϕ
−1 .
(3) |ϕ
(a)| = 1.
On est ici dans un cas douteux, comme le montrent les deux exemples suivants dans
lesquels a = 0, ϕ
(a) = 1 :