IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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½º¾º ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
ÐÐ Ö ×ÓÐÙØØÓÒ ³ ÕÙÙØØÓÒ×
Comme premi` ere application ´ el´ ementaire du r´ esultat pr´ ec´ edent, soit `
a r´ esoudre
une ´ equation f (x) = 0 d’une variable r´ eelle x. Supposons qu’on ait une fonction
diff´ erentiable f : [a, b] → R telle que disons f (a) < 0, f (b) > 0, et f strictement
croissante, 0 < m ≤ f
(x) ≤ M sur [a, b]
dans le cas oppos´ e f (a) > 0, f (b) < 0, et
−M ≤ f
(x) < −m < 0 il suffira de changer f en −f
. Si on pose
ϕ(x) = x − Cf (x)
avec une constante C = 0, il est clair que l’´ equation f (x) = 0 ´ equivaut `
a ϕ(x) = x
et donc la r´ esolution de l’´ equation f (x) = 0 se ram` ene ` a rechercher les points fixes
de ϕ. L’espace E = [a, b] est complet, et il nous faut v´ erifier de plus
• que ϕ envoie bien E dans E,
• que ϕ est bien contractante sur E.
Or nous avons ϕ
(x) = 1 − Cf
(x), donc 1 − CM ≤ ϕ
(x) ≤ 1 − Cm, et pour le
choix C = 1/M , la fonction ϕ est bien contractante dans le rapport k = 1 − m/M .
De plus ϕ est croissante et on a ϕ(a) > a, ϕ(b) < b, donc ϕ([a, b]) ⊂ [a, b]. Il en
r´ esulte que toute suite it´ erative x p+1 = ϕ(x p ) calcul´ ee ` a partir d’un point x 0 ∈ [a, b]
quelconque va converger vers l’unique solution de l’´ equation f (x) = 0.
La vitesse de convergence peut ˆ etre estim´ ee par la suite g´ eom´ etrique (1 − m/M )
p ,
et on voit qu’on a int´ erˆ et ` a ce que les bornes m et M de l’encadrement m ≤ f
≤ M
soient proches, ce qui est toujours possible si f
est continue et si l’encadrement
initial [a, b] de la solution x cherch´ ee est suffisamment fin. L’objet de ce chapitre
est d’´ etudier et de g´ en´ eraliser ce type de techniques, pour des fonctions d’une ou
plusieurs variables.
¾º × × ÓÒÒØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÚÖÖÖÖÐÐ
¾º½º ÈÓÓÒØ× ÜÜ× ØØÖÖØØØ× Ø Ö ÔÙÐ××××
Notre objectif est ici d’´ etudier le comportement it´ eratif d’une fonction au voisinage
de ses points fixes. Soit I un intervalle ferm´ e de R et ϕ : I → I une application de
classe C
1 . Soit a ∈ I un point fixe de ϕ. On peut distinguer trois cas :
(1) |ϕ
(a)| < 1.
Soit k tel que |ϕ
(a)| < k < 1. Par continuit´ e de ϕ
, il existe un intervalle
E = [a − h, a + h] sur lequel |ϕ
| ≤ k, donc ϕ est contractante de rapport k sur E ;
on a n´ ecessairement ϕ(E) ⊂ E et par cons´ equent
∀x 0 ∈ [a − h, a + h],
lim
p→+∞
x p = a.
On dit que a est un point fixe attractif. Dans ce cas la convergence de la suite (x p )
est au moins exponentiellement rapide : |x p − a| ≤ k
p
|x 0 − a|.
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Comme premi` ere application ´ el´ ementaire du r´ esultat pr´ ec´ edent, soit `
a r´ esoudre
une ´ equation f (x) = 0 d’une variable r´ eelle x. Supposons qu’on ait une fonction
diff´ erentiable f : [a, b] → R telle que disons f (a) < 0, f (b) > 0, et f strictement
croissante, 0 < m ≤ f
(x) ≤ M sur [a, b]
dans le cas oppos´ e f (a) > 0, f (b) < 0, et
−M ≤ f
(x) < −m < 0 il suffira de changer f en −f
. Si on pose
ϕ(x) = x − Cf (x)
avec une constante C = 0, il est clair que l’´ equation f (x) = 0 ´ equivaut `
a ϕ(x) = x
et donc la r´ esolution de l’´ equation f (x) = 0 se ram` ene ` a rechercher les points fixes
de ϕ. L’espace E = [a, b] est complet, et il nous faut v´ erifier de plus
• que ϕ envoie bien E dans E,
• que ϕ est bien contractante sur E.
Or nous avons ϕ
(x) = 1 − Cf
(x), donc 1 − CM ≤ ϕ
(x) ≤ 1 − Cm, et pour le
choix C = 1/M , la fonction ϕ est bien contractante dans le rapport k = 1 − m/M .
De plus ϕ est croissante et on a ϕ(a) > a, ϕ(b) < b, donc ϕ([a, b]) ⊂ [a, b]. Il en
r´ esulte que toute suite it´ erative x p+1 = ϕ(x p ) calcul´ ee ` a partir d’un point x 0 ∈ [a, b]
quelconque va converger vers l’unique solution de l’´ equation f (x) = 0.
La vitesse de convergence peut ˆ etre estim´ ee par la suite g´ eom´ etrique (1 − m/M )
p ,
et on voit qu’on a int´ erˆ et ` a ce que les bornes m et M de l’encadrement m ≤ f
≤ M
soient proches, ce qui est toujours possible si f
est continue et si l’encadrement
initial [a, b] de la solution x cherch´ ee est suffisamment fin. L’objet de ce chapitre
est d’´ etudier et de g´ en´ eraliser ce type de techniques, pour des fonctions d’une ou
plusieurs variables.
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Notre objectif est ici d’´ etudier le comportement it´ eratif d’une fonction au voisinage
de ses points fixes. Soit I un intervalle ferm´ e de R et ϕ : I → I une application de
classe C
1 . Soit a ∈ I un point fixe de ϕ. On peut distinguer trois cas :
(1) |ϕ
(a)| < 1.
Soit k tel que |ϕ
(a)| < k < 1. Par continuit´ e de ϕ
, il existe un intervalle
E = [a − h, a + h] sur lequel |ϕ
| ≤ k, donc ϕ est contractante de rapport k sur E ;
on a n´ ecessairement ϕ(E) ⊂ E et par cons´ equent
∀x 0 ∈ [a − h, a + h],
lim
p→+∞
x p = a.
On dit que a est un point fixe attractif. Dans ce cas la convergence de la suite (x p )
est au moins exponentiellement rapide : |x p − a| ≤ k
p
|x 0 − a|.