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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
d’o` u par r´ ecurrence d(x p , x p+1 ) ≤ k
p d(x 0 , x 1 ). Pour tout entier q > p il vient
d(x p , x q ) ≤
q−1
l=p
d(x l , x l+1 ) ≤
q−1
l=p
k
l
d(x 0 , x 1 )
avec
q−1
l=p
k
l
≤
+∞
l=p
k
l =
k
p
1 − k
. On a donc
d(x p , x q ) ≤
k
p
1 − k
d(x 0 , x 1 ), ∀p < q
ce qui montre que (x p ) est une suite de Cauchy. Comme (E, d) est complet, la suite
(x p ) converge vers un point limite a ∈ E. L’´ egalit´ e x p+1 = ϕ(x p ) et la continuit´ e
de ϕ impliquent `
a la limite a = ϕ(a).
Estimation de la vitesse de convergence – L’in´ egalit´ e
d(x p , a) = d(ϕ(x p−1 ), ϕ(a)) ≤ k d(x p−1 , a)
implique par r´ ecurrence
d(x p , a) ≤ k
p d(x 0 , a).
La convergence est donc exponentiellement rapide. Lorsque E = R
m , on dit parfois
qu’il s’agit d’une convergence lin´ eaire, dans le sens o` u le nombre de d´ ecimales exactes
de x p croˆ ıt au moins lin´ eairement avec p.
G´ en´ eralisation – Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent reste enti` erement valable si on
remplace l’hypoth` ese que ϕ est contractante par l’hypoth` ese que ϕ est continue et
qu’il existe une certaine it´ er´ ee ϕ
m = ϕ ◦ . . . ◦ ϕ qui soit contractante.
En effet, dans ce cas, l’hypoth` ese que ϕ
m soit contractante implique que ϕ
m admet
un unique point fixe a. On a donc ϕ
m (a) = a et en appliquant ϕ ` a cette ´ egalit´ e on
trouve
ϕ
m (ϕ(a)) = ϕ
m+1 (a) = ϕ(ϕ
m (a)) = ϕ(a),
de sorte que ϕ(a) est encore un point fixe de ϕ
m . L’unicit´ e du point fixe de ϕ
m
entraˆ ıne ϕ(a) = a. Par ailleurs, comme tout point fixe de ϕ est aussi un point fixe
de ϕ
m , ce point fixe est n´ ecessairement unique. Enfin, pour tout point initial x 0 , la
sous-suite x mp = ϕ
mp (x 0 ) = (ϕ
m )
p (x 0 ) (correspondant aux indices multiples de m)
converge vers a. Il en r´ esulte que x mp+r = ϕ
r (x mp ) converge aussi vers ϕ
r (a) = a
pour r = 0, 1, . . . m − 1, et on en d´ eduit lim q→+∞ x q = a. Voir aussi le probl` eme
4.1 pour une autre d´ emonstration de ces r´ esultats.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
d’o` u par r´ ecurrence d(x p , x p+1 ) ≤ k
p d(x 0 , x 1 ). Pour tout entier q > p il vient
d(x p , x q ) ≤
q−1
l=p
d(x l , x l+1 ) ≤
q−1
l=p
k
l
d(x 0 , x 1 )
avec
q−1
l=p
k
l
≤
+∞
l=p
k
l =
k
p
1 − k
. On a donc
d(x p , x q ) ≤
k
p
1 − k
d(x 0 , x 1 ), ∀p < q
ce qui montre que (x p ) est une suite de Cauchy. Comme (E, d) est complet, la suite
(x p ) converge vers un point limite a ∈ E. L’´ egalit´ e x p+1 = ϕ(x p ) et la continuit´ e
de ϕ impliquent `
a la limite a = ϕ(a).
Estimation de la vitesse de convergence – L’in´ egalit´ e
d(x p , a) = d(ϕ(x p−1 ), ϕ(a)) ≤ k d(x p−1 , a)
implique par r´ ecurrence
d(x p , a) ≤ k
p d(x 0 , a).
La convergence est donc exponentiellement rapide. Lorsque E = R
m , on dit parfois
qu’il s’agit d’une convergence lin´ eaire, dans le sens o` u le nombre de d´ ecimales exactes
de x p croˆ ıt au moins lin´ eairement avec p.
G´ en´ eralisation – Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent reste enti` erement valable si on
remplace l’hypoth` ese que ϕ est contractante par l’hypoth` ese que ϕ est continue et
qu’il existe une certaine it´ er´ ee ϕ
m = ϕ ◦ . . . ◦ ϕ qui soit contractante.
En effet, dans ce cas, l’hypoth` ese que ϕ
m soit contractante implique que ϕ
m admet
un unique point fixe a. On a donc ϕ
m (a) = a et en appliquant ϕ ` a cette ´ egalit´ e on
trouve
ϕ
m (ϕ(a)) = ϕ
m+1 (a) = ϕ(ϕ
m (a)) = ϕ(a),
de sorte que ϕ(a) est encore un point fixe de ϕ
m . L’unicit´ e du point fixe de ϕ
m
entraˆ ıne ϕ(a) = a. Par ailleurs, comme tout point fixe de ϕ est aussi un point fixe
de ϕ
m , ce point fixe est n´ ecessairement unique. Enfin, pour tout point initial x 0 , la
sous-suite x mp = ϕ
mp (x 0 ) = (ϕ
m )
p (x 0 ) (correspondant aux indices multiples de m)
converge vers a. Il en r´ esulte que x mp+r = ϕ
r (x mp ) converge aussi vers ϕ
r (a) = a
pour r = 0, 1, . . . m − 1, et on en d´ eduit lim q→+∞ x q = a. Voir aussi le probl` eme
4.1 pour une autre d´ emonstration de ces r´ esultats.