ÔÔØÖÖ ÁÎ
Å
ØØÓÓÓ× Ø
ÖÖØØÚÚ×
ÔÓÙÖ ÐÐ Ö
×ÓÐÙØØÓÒ ³
ÕÙÙØØÓÒ×
Les m´ ethodes it´ eratives, et en particulier la m´ ethode de Newton, figurent parmi
les m´ ethodes num´ eriques les plus puissantes permettant la r´ esolution approch´ ee
des ´ equations de toute nature. L’id´ ee de ces m´ ethodes est de partir d’une valeur
approch´ ee grossi` ere de la solution, et d’en am´ eliorer la pr´ ecision par une application
it´ er´ ee d’un algorithme bien choisi.
½º ÈÖÖÒÒÒÔÔ × Ñ ØØÓÓÓ× Ø ÖÖØØÚÚ×
½º½º ÄÄ ØØ ÓÖ ÑÑ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ
Soit (E, d) un espace m´ etrique complet et ϕ : E → E une application continue. On
dit que a ∈ E est un point fixe de ϕ si ϕ(a) = a. On dit que ϕ est contractante si
ϕ est lipschitzienne de rapport k < 1, c’est-` a-dire s’il existe k < 1 tel que
∀x, y ∈ E, d(f (x), f(y)) ≤ k d(x, y).
Th´ eor` eme – Soit ϕ : E → E une application contractante d’un espace m´ etrique
complet dans lui-mˆ eme. Alors ϕ admet un point fixe unique a ∈ E. De plus, pour
tout point initial x 0 ∈ E, la suite it´ er´ ee (x p ) d´ efinie par x p+1 = ϕ(x p ) converge
vers a.
Unicit´ e du point fixe. Si ϕ avait deux points fixes a = b, alors d(ϕ(a), ϕ(b)) =
d(a, b) et d(a, b) = 0, donc ϕ ne pourrait ˆ etre contractante, contradiction.
Existence du point fixe. Soit x 0 ∈ E un point initial quelconque et (x p ) la suite
it´ er´ ee associ´ ee. On a alors
d(x p , x p+1 ) = d(ϕ(x p−1 ), ϕ(x p )) ≤ k d(x p−1 , x p )
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Les m´ ethodes it´ eratives, et en particulier la m´ ethode de Newton, figurent parmi
les m´ ethodes num´ eriques les plus puissantes permettant la r´ esolution approch´ ee
des ´ equations de toute nature. L’id´ ee de ces m´ ethodes est de partir d’une valeur
approch´ ee grossi` ere de la solution, et d’en am´ eliorer la pr´ ecision par une application
it´ er´ ee d’un algorithme bien choisi.
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Soit (E, d) un espace m´ etrique complet et ϕ : E → E une application continue. On
dit que a ∈ E est un point fixe de ϕ si ϕ(a) = a. On dit que ϕ est contractante si
ϕ est lipschitzienne de rapport k < 1, c’est-` a-dire s’il existe k < 1 tel que
∀x, y ∈ E, d(f (x), f(y)) ≤ k d(x, y).
Th´ eor` eme – Soit ϕ : E → E une application contractante d’un espace m´ etrique
complet dans lui-mˆ eme. Alors ϕ admet un point fixe unique a ∈ E. De plus, pour
tout point initial x 0 ∈ E, la suite it´ er´ ee (x p ) d´ efinie par x p+1 = ϕ(x p ) converge
vers a.
Unicit´ e du point fixe. Si ϕ avait deux points fixes a = b, alors d(ϕ(a), ϕ(b)) =
d(a, b) et d(a, b) = 0, donc ϕ ne pourrait ˆ etre contractante, contradiction.
Existence du point fixe. Soit x 0 ∈ E un point initial quelconque et (x p ) la suite
it´ er´ ee associ´ ee. On a alors
d(x p , x p+1 ) = d(ϕ(x p−1 ), ϕ(x p )) ≤ k d(x p−1 , x p )