92
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(b) Pour x ∈ [−1, 1] et n ∈ N on note
a n (x) =
1
−1
cos(n Arc cos x) − cos(n Arc cos y)
x − y
dy.
Montrer que a n est un polynˆ ome de degr´ e n et que l’on a
1
−1
P n (x)dx =
n
i=0
ω i f (x i ) avec ω i =
(−1)
i sin θ i
n + 1
a n+1 (x i ).
(c) Calculer a n+1 (x) − a n−1 (x) ; en d´ eduire la valeur de
a n+1 (x) − 2xa n (x) + a n−1 (x).
(d) En distinguant deux cas suivant la parit´ e de n, montrer l’´ egalit´ e
sin θ a n (cos θ) = 2 sin nθ − 4
1≤q<
n
2
1
4q 2 − 1
sin (n − 2q)θ.
(e) En d´ eduire l’expression de ω i :
ω i =
2 − 4
1≤q≤
n+1
2
1
4q 2 − 1
cos 2qθ i
n + 1
.
Montrer l’in´ egalit´ e ω i > 0.
(f) On fixe n = 10. ´
Ecrire un programme en langage informatique qui permet de
calculer tous les coefficients ω i .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(b) Pour x ∈ [−1, 1] et n ∈ N on note
a n (x) =
1
−1
cos(n Arc cos x) − cos(n Arc cos y)
x − y
dy.
Montrer que a n est un polynˆ ome de degr´ e n et que l’on a
1
−1
P n (x)dx =
n
i=0
ω i f (x i ) avec ω i =
(−1)
i sin θ i
n + 1
a n+1 (x i ).
(c) Calculer a n+1 (x) − a n−1 (x) ; en d´ eduire la valeur de
a n+1 (x) − 2xa n (x) + a n−1 (x).
(d) En distinguant deux cas suivant la parit´ e de n, montrer l’´ egalit´ e
sin θ a n (cos θ) = 2 sin nθ − 4
1≤q<
n
2
1
4q 2 − 1
sin (n − 2q)θ.
(e) En d´ eduire l’expression de ω i :
ω i =
2 − 4
1≤q≤
n+1
2
1
4q 2 − 1
cos 2qθ i
n + 1
.
Montrer l’in´ egalit´ e ω i > 0.
(f) On fixe n = 10. ´
Ecrire un programme en langage informatique qui permet de
calculer tous les coefficients ω i .