III – Int´ egration num´ erique
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(a) Montrer que pour tout f ∈ C l’int´ egrale
1
−1
f (x)
√
1 − x 2
dx est convergente.
(b) On note t n le polynˆ ome de Tchebychev de degr´ e n.
On rappelle le r´ esultat
1
−1
tn(x)t k (x)
√
1−x 2
dx =
π
2 δ n,k o` u δ n,k est le symbole de
Kronecker. Calculer
1
−1
x
n tm(x)
√
1−x 2 dx pour n < m.
(c) On note x 0 , x 1 , x 2 les racines de t 3 . D´ eterminer trois r´ eels A 0 , A 1 , A 2 tels que
pour tout polynˆ ome P de degr´ e ≤ 2 on ait
1
−1
P (x)
√
1 − x 2
dx = A 0 P (x 0 ) + A 1 P (x 1 ) + A 2 P (x 2 ).
Montrer que l’´ egalit´ e est encore v´ erifi´ ee si P est de degr´ e ≤ 5.
(d) Montrer que l’int´ egrale
1
0
x
4 dx
√
x(1−x)
est convergente et, ` a l’aide de (c), calculer
sa valeur.
(e) Pour n fix´ e non nul, on d´ esigne par x k les racines de t n et par A k des nombres
r´ eels (0 ≤ k ≤ n − 1). Pour tout f ∈ C on note
S n (f ) =
n−1
k=0
A k f (x k ) et R n (f ) =
1
−1
f (x)
√
1 − x 2
dx − S n (f ).
(α) Montrer que l’on peut d´ eterminer les A k de mani` ere unique de sorte que
pour tout polynˆ ome P de degr´ e ≤ n − 1 on ait R n (P ) = 0.
(β) Montrer que pour 1 ≤ p ≤ n − 1 on a
n−1
k=0 T p (x k ) = 0.
En d´ eduire que A k =
π
n pour tout k.
(γ) Montrer que R n (P ) = 0 pour tout polynˆ ome de degr´ e ≤ 2n − 1.
(f) Soient f ∈ C et P un polynˆ ome. En supposant f − p < ε, donner un majorant
de |R n (f )| lorsque n → +∞. En d´ eduire
lim
n→+∞
S n (f ) =
1
−1
f (x)
√
1 − x 2
dx.
6.10. Le but du probl` eme est d’´ etablir quelques r´ esultats sur la formule approch´ ee
1
−1
f (x)dx
1
−1
P n (x)dx o` u P n (x) est le polynˆ ome d’interpolation de degr´ e n de
f aux points de Tchebychev x i = cos θ i , tels que θ i =
(2i+1)
2n+2 π, 0 ≤ i ≤ n.
(a) Avec les notations de II 4.3, montrer que le polynˆ omes l i de Lagrange sont
donn´ es par
l i (x) =
(−1)
i sin θ i
n + 1
t n+1 (x)
x − x i
, 0 ≤ i ≤ n.